Question

设 $1, 4, \ldots$ 和 $9, 16, \ldots$ 是两个等差数列。集合 $S$ 是这两个数列各自前 $2004$ 项的并集。 $S$ 中有多少个不同的数？

Let $1, 4, \ldots$ and $9, 16, \ldots$ be two arithmetic progressions. The set $S$ is the union of the first $2004$ terms of each sequence. How many distinct numbers are in $S?$

$3722$

$3732$

$3914$

$3924$

$4007$

答案：A

知识点：等差数列最小公倍数容斥原理

难度评级：1740

解答：

第一个数列为 $1 + 3k$ ，最大项为 $6010$ 。第二个数列为 $9 + 7j$ ，其最后一项更大，所以公共项上界由 $6010$ 限制。

公共项形如 $16 + 21m$ ，因为第一个公共项为 $16$ ，且 $\mathrm{lcm}(3, 7) = 21$ 。由 $16 + 21m \le 6010$ 得 $0 \le m \le 285$ ，共有 $286$ 个公共项。

因此不同数的个数为 $2004 + 2004 - 286 = 3722$ 。

所以正确答案是 A。

The first sequence is $1 + 3k$ with largest term $6010,$ and the second is $9 + 7j$ with a much larger last term, so the binding limit is $6010.$

A common value has the form $16 + 21m$ (the first shared term is $16,$ spaced by $\mathrm{lcm}(3, 7) = 21$ ). Requiring $16 + 21m \le 6010$ gives $0 \le m \le 285,$ that is $286$ common numbers.

The number of distinct values is $2004 + 2004 - 286 = 3722.$

Thus, the correct answer is A.

2004 AMC 10B 第 21 题

答案：A

难度评级：1740

解答：

其他年份的第 21 题