Question

在直角三角形 $\triangle ACE$ 中， $AC = 12$ 、 $CE = 16$ 、 $EA = 20$ 。点 $B, D$ 和 $F$ 分别在 $AC, CE$ 和 $EA$ 上，且 $AB = 3$ 、 $CD = 4$ 、 $EF = 5$ 。 $\triangle BDF$ 的面积与 $\triangle ACE$ 的面积之比是多少？

In right triangle $\triangle ACE,$ we have $AC = 12,$ $CE = 16,$ and $EA = 20.$ Points $B, D,$ and $F$ are located on $AC, CE,$ and $EA,$ respectively, so that $AB = 3,$ $CD = 4,$ and $EF = 5.$ What is the ratio of the area of $\triangle BDF$ to that of $\triangle ACE?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{9}{25}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{11}{25}$

$\dfrac{7}{16}$

答案：E

知识点：面积比面积分割三角形面积

难度评级：1630

解答：

$\triangle ACE$ 的面积是 $\tfrac12(12)(16) = 96.$

角上的三个三角形 $\triangle ABF,$ $\triangle BCD,$ 和 $\triangle DEF$ 的底与高分别是 $\triangle ACE.$ 对应底与高的 $\tfrac34$ 和 $\tfrac14$ 。所以每个小三角形的面积都是 $\triangle ACE$ 面积的 $\tfrac14 \cdot \tfrac34 = \tfrac{3}{16}$ 。

因此 $\begin{aligned} \dfrac{[BDF]}{[ACE]} &= 1 - 3 \cdot \dfrac{3}{16} \\ &= 1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{16}. \end{aligned}$

所以正确答案是 E。

The area of $\triangle ACE$ is $\tfrac12(12)(16) = 96.$

Each corner triangle $\triangle ABF,$ $\triangle BCD,$ and $\triangle DEF$ has a base and an altitude that are $\tfrac34$ and $\tfrac14$ of a corresponding base and altitude of $\triangle ACE.$ So each has area $\tfrac14 \cdot \tfrac34 = \tfrac{3}{16}$ of $\triangle ACE.$

Hence $\begin{aligned} \dfrac{[BDF]}{[ACE]} &= 1 - 3 \cdot \dfrac{3}{16} \\ &= 1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{16}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

2004 AMC 10B 第 18 题

答案：E

难度评级：1630

解答：

其他年份的第 18 题