2003 AMC 10A 第 25 题

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25.

设

n

是

5

位数，

n

除以

100

时的商和余数分别为

q

和

r

。有多少个

n

满足

q + r

能被

11

整除？

Let

n

be a

5

-digit number, and let

q

and

r

be the quotient and remainder, respectively, when

n

is divided by

100.

For how many values of

n

is

q + r

divisible by

11?

8180

8181

8182

9000

9090

答案：B

知识点：整除性模运算区间内整数计数

难度评级：2070

小提示：

写成

n = 100q + r

，所以

n = (q + r) + 99q

。

Write

n = 100q + r,

so

n = (q + r) + 99q

大提示：

因为

99q

能被

11

整除，所以

q + r

能被

11

整除当且仅当

n

也能被整除。

Since

99q

is divisible by

11,

q + r

is divisible by

11

exactly when

n

is

解答：

写成

n = 100q + r = (q + r) + 99q

。

因为

99q

是

11

的倍数，所以

q + r

能被

11

整除当且仅当

n

也能被整除。

5

位数中，

11

的倍数满足

10000 \le n \le 99999

，共有

\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor - \left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor \\ &= 9090 - 909 \\ &= 8181 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 B。

Write

n = 100q + r = (q + r) + 99q.

Since

99q

is a multiple of

11,

q + r

is divisible by

11

if and only if

n

is.

The

5

-digit multiples of

11

satisfy

10000 \le n \le 99999,

and there are

\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor - \left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor \\ &= 9090 - 909 \\ &= 8181. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.