Question

设 $n$ 是 $5$ 位数， $n$ 除以 $100$ 时的商和余数分别为 $q$ 和 $r$ 。有多少个 $n$ 满足 $q + r$ 能被 $11$ 整除？

Let $n$ be a $5$ -digit number, and let $q$ and $r$ be the quotient and remainder, respectively, when $n$ is divided by $100.$ For how many values of $n$ is $q + r$ divisible by $11?$

$8180$

$8181$

$8182$

$9000$

$9090$

答案：B

知识点：整除性模运算区间内整数计数

难度评级：2070

解答：

写成 $n = 100q + r = (q + r) + 99q$ 。

因为 $99q$ 是 $11$ 的倍数，所以 $q + r$ 能被 $11$ 整除当且仅当 $n$ 也能被整除。

$5$ 位数中， $11$ 的倍数满足 $10000 \le n \le 99999$ ，共有

$\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor - \left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor \\ &= 9090 - 909 \\ &= 8181. \end{aligned}$

所以正确答案是 B。

Write $n = 100q + r = (q + r) + 99q.$

Since $99q$ is a multiple of $11,$ $q + r$ is divisible by $11$ if and only if $n$ is.

The $5$ -digit multiples of $11$ satisfy $10000 \le n \le 99999,$ and there are

$\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor - \left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor \\ &= 9090 - 909 \\ &= 8181. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 10A 第 25 题

答案：B

难度评级：2070

解答：

其他年份的第 25 题