Question

在梯形 $ABCD$ 中，底边为 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ ，且 $AB=52$ 、 $BC=12$ 、 $CD=39$ 、 $DA=5$ 。梯形 $ABCD$ 的面积是多少？

In trapezoid $ABCD$ with bases $\overline{AB}$ and $\overline{CD},$ we have $AB=52,$ $BC=12,$ $CD=39,$ and $DA=5.$ The area of $ABCD$ is

$182$

$195$

$210$

$234$

$260$

答案：C

知识点：梯形相似勾股数

难度评级：1790

解答：

延长 $DA$ 和 $CB$ ，交于 $P$ 。因为 $DC\parallel AB$ ，所以 $\triangle PDC\sim\triangle PAB$ ，相似比为 $\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}$ 。于是 $\dfrac{PD}{PD+5}=\dfrac{3}{4}$ ，得 $PD=15$ ，同理 $PC=36$ 。

于是 $PD:PC:DC=15:36:39$ $=3\cdot(5:12:13)$ ，所以 $\angle P$ 是直角。梯形 $ABCD$ 的面积为 $\begin{gathered} \dfrac{1}{2}(PA)(PB) \\ {}-\dfrac{1}{2}(PD)(PC) \\ = \dfrac{1}{2}(20)(48) \\ {}-\dfrac{1}{2}(15)(36) \\ = 480-270=210. \end{gathered}$

所以正确答案是 C。

Extend $DA$ and $CB$ to meet at $P.$ Since $DC\parallel AB,$ $\triangle PDC\sim\triangle PAB$ with ratio $\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}.$ From $\dfrac{PD}{PD+5}=\dfrac{3}{4}$ we get $PD=15,$ and similarly $PC=36.$

Then $PD:PC:DC=15:36:39$ $=3\cdot(5:12:13),$ so $\angle P$ is a right angle. The area of $ABCD$ is $\begin{gathered} \dfrac{1}{2}(PA)(PB) \\ {}-\dfrac{1}{2}(PD)(PC) \\ = \dfrac{1}{2}(20)(48) \\ {}-\dfrac{1}{2}(15)(36) \\ = 480-270=210. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 10A 第 25 题

答案：C

难度评级：1790

解答：

其他年份的第 25 题