2002 AMC 10A 第 25 题

先试着解答 2002 AMC 10A 第 25 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2002 AMC 10A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

在梯形

ABCD

中，底边为

\overline{AB}

和

\overline{CD}

，且

AB=52

、

BC=12

、

CD=39

、

DA=5

。梯形

ABCD

的面积是多少？

In trapezoid

ABCD

with bases

\overline{AB}

and

\overline{CD},

we have

AB=52,

BC=12,

CD=39,

and

DA=5.

The area of

ABCD

is

182

195

210

234

260

答案：C

知识点：梯形相似勾股数

难度评级：1790

小提示：

延长

DA

和

CB

，使它们交于一点

P

。

Extend the legs

DA

and

CB

until they meet at a point

P

大提示：

\triangle PDC\sim\triangle PAB

，相似比为

\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}

。

\triangle PDC\sim\triangle PAB

with ratio

\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}

解答：

延长

DA

和

CB

，交于

P

。因为

DC\parallel AB

，所以

\triangle PDC\sim\triangle PAB

，相似比为

\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}

。于是

\dfrac{PD}{PD+5}=\dfrac{3}{4}

，得

PD=15

，同理

PC=36

。

于是

PD:PC:DC=15:36:39

=3\cdot(5:12:13)

，所以

\angle P

是直角。梯形

ABCD

的面积为

\begin{gathered} \dfrac{1}{2}(PA)(PB) \\ {}-\dfrac{1}{2}(PD)(PC) \\ = \dfrac{1}{2}(20)(48) \\ {}-\dfrac{1}{2}(15)(36) \\ = 480-270=210 \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 C。

Extend

DA

and

CB

to meet at

P.

Since

DC\parallel AB,

\triangle PDC\sim\triangle PAB

with ratio

\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}.

From

\dfrac{PD}{PD+5}=\dfrac{3}{4}

we get

PD=15,

and similarly

PC=36.

Then

PD:PC:DC=15:36:39

=3\cdot(5:12:13),

so

\angle P

is a right angle. The area of

ABCD

is

\begin{gathered} \dfrac{1}{2}(PA)(PB) \\ {}-\dfrac{1}{2}(PD)(PC) \\ = \dfrac{1}{2}(20)(48) \\ {}-\dfrac{1}{2}(15)(36) \\ = 480-270=210. \end{gathered}

Thus, the correct answer is C.