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1967 AMC 12 Problema 40

Intenta el Problema 40 del 1967 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1967 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

40.

Dentro del triángulo equilátero ABCABC hay un punto PP tal que PA=8,PA=8, PB=6,PB=6, y PC=10.PC=10. Al entero más cercano, el área del triángulo ABCABC es:
Located inside equilateral triangle ABCABC is a point PP such that PA=8,PA=8, PB=6,PB=6, and PC=10.PC=10. To the nearest integer the area of triangle ABCABC is:
159159
131131
9595
7979
5050
Respuesta: D
Conceptos:triángulo equiláterotransformaciónTerna pitagóricaley de los cosenosárea
Nivel de dificultad: 2370
Pista pequeña:
Gira PP 60∘60^\circ alrededor de AA, en el sentido que lleva CC a BB
Rotate PP by 60∘60^\circ about AA so that CC maps to BB
Pista grande:
El triángulo 66-88-1010 resultante determina ∠APB\angle APB
The resulting 66-88-1010 triangle determines ∠APB\angle APB
Solución:
Gira PP 60∘60^\circ alrededor de AA hasta P′.P'. Como esta rotación lleva CC a B,B, se tiene P′B=PC=10,P'B=PC=10, PP′=PA=8,PP'=PA=8, y PB=6.PB=6. Así, el triángulo PP′BPP'B es rectángulo. Además, el triángulo APP′APP' es equilátero, por lo que ∠APB=60∘+90∘=150∘.\angle APB=60^\circ+90^\circ=150^\circ.
Si el triángulo equilátero tiene lado s,s, la ley de los cosenos en el triángulo APBAPB da s2=62+82−2(6)(8)cos⁡150∘=100+483. \begin{aligned} s^2 &=6^2+8^2-2(6)(8)\cos150^\circ\\ &=100+48\sqrt3. \end{aligned} Su área es 34s2=36+253, \frac{\sqrt3}{4}s^2=36+25\sqrt3, cuyo entero más cercano es 79.79.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Rotate PP by 60∘60^\circ about AA to P′.P'. Since this rotation sends CC to B,B, we have P′B=PC=10,P'B=PC=10, PP′=PA=8,PP'=PA=8, and PB=6.PB=6. Thus triangle PP′BPP'B is right. Also triangle APP′APP' is equilateral, so ∠APB=60∘+90∘=150∘.\angle APB=60^\circ+90^\circ=150^\circ.
If the equilateral triangle has side s,s, the law of cosines in triangle APBAPB gives s2=62+82−2(6)(8)cos⁡150∘=100+483. \begin{aligned} s^2 &=6^2+8^2-2(6)(8)\cos150^\circ\\ &=100+48\sqrt3. \end{aligned} Its area is 34s2=36+253, \frac{\sqrt3}{4}s^2=36+25\sqrt3, whose nearest integer is 79.79.
Therefore, the correct answer is D.
Problema 39#39
Examen completo

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