Question

数字 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 各使用一次，写成五位数 $PQRST$ 。三位数 $PQR$ 能被 $4$ 整除，三位数 $QRS$ 能被 $5$ 整除，三位数 $RST$ 能被 $3$ 整除。 $P$ 是多少？

The digits $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ and $5$ are each used once to write a five-digit number $PQRST.$ The three-digit number $PQR$ is divisible by $4,$ the three-digit number $QRS$ is divisible by $5,$ and the three-digit number $RST$ is divisible by $3.$ What is $P?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：A

知识点：整除性分类讨论

难度评级：1580

小提示：

能被 $5$ 整除的条件确定了 $S$ 。

The divisibility by $5$ condition determines $S$ .

大提示：

确定 $S$ 后，列出使 $PQR$ 能被 $4$ 整除的可能两位结尾 $QR$ 。

Once $S$ is known, list the possible two-digit endings $QR$ that make $PQR$ divisible by $4$ .

视频讲解：

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文字解答：

因为 $QRS$ 能被 $5$ 整除，所以 $S = 5$ 。

因为 $PQR$ 能被 $4$ 整除，所以 $QR$ 可以是 $12$ 、 $24$ 或 $32$ 。

如果 $QR=12$ ，则 $R=2$ ，那么 $RST=25T$ ，用剩余数字无法使其被 $3$ 整除。如果 $QR=32$ ，则 $R=2$ ，也遇到同样问题。因此 $QR=24$ ，于是 $RST=45T$ 。在剩余数字中，只有 $T=3$ 使 $453$ 能被 $3$ 整除。

因此 $PQRST = 12453$ 。

所以正确答案是 A。

Since $QRS$ is divisible by $5,$ we know that $S = 5.$

Since $PQR$ is divisible by $4,$ $QR$ equals either $12,$ $24,$ or $32.$

If $QR=12,$ then $R=2,$ so $RST=25T$ cannot be divisible by $3$ using the remaining digits. If $QR=32,$ then $R=2$ again, giving the same obstacle. Thus $QR=24,$ and then $RST=45T.$ Among the remaining digits, only $T=3$ makes $453$ divisible by $3$ .

Therefore, $PQRST = 12453.$

Thus, A is the correct answer.

2016 AMC 8 第 24 题