Question

在一个魔术三角形中，六个整数 $10$ 至 $15$ 各被放入一个圆内，使三角形每条边上三个数的和 $S$ 都相同。 $S$ 的最大可能值是

In a magic triangle, each of the six whole numbers $10$ through $15$ is placed in one of the circles so that the sum $S$ of the three numbers on each side of the triangle is the same. The largest possible value for $S$ is

$36$

$37$

$38$

$39$

$40$

答案：D

知识点：幻方最优化

难度评级：1140

小提示：

把三条边的和相加时，每个顶点数被计算两次，每个中点数被计算一次

Adding the three side sums counts each corner number twice and each midpoint number once

大提示：

设 $C$ 为三个顶点数之和，则 $3S = 75 + C$ ；要使它最大，应把三个最大的数放在顶点上

Let $C$ be the sum of the corner numbers. Then $3S = 75 + C;$ put the three largest numbers at the corners

解答：

设 $C$ 为三个顶点数之和。把三条边的和相加可得 $3S = 75 + C$ ，因为六个数之和为 $75$ ，且每个顶点数都被多计算了一次。要使 $S$ 最大，应把三个最大的数 $13$ 、 $14$ 、 $15$ 放在顶点，此时 $C = 42$ 。

于是 $3S = 75 + 42 = 117$ ，所以 $S = 39$ 。这个值可以达到：在顶点 $13$ 与 $14$ 之间放 $12$ ，在 $14$ 与 $15$ 之间放 $10$ ，在 $15$ 与 $13$ 之间放 $11$ 。

所以正确答案是 D。

Let $C$ be the sum of the corner numbers. Adding the three side sums gives $3S = 75 + C,$ because the six numbers sum to $75$ and every corner is counted one extra time. To maximize $S,$ place the three largest numbers $13,$ $14,$ $15$ at the corners, giving $C = 42.$

Then $3S = 75 + 42 = 117,$ so $S = 39.$ This is achievable: put $12$ between corners $13$ and $14,$ put $10$ between $14$ and $15,$ and put $11$ between $15$ and $13.$

Thus, the correct answer is D .

1985 AMC 8 第 24 题

答案：D

难度评级：1140

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题