Question

在三角形 $ABC$ 中，点 $D$ 将边 $\overline{AC}$ 分成 $AD : DC = 1 : 2$ 。设 $E$ 是 $\overline{BD}$ 的中点， $F$ 是直线 $BC$ 与直线 $AE$ 的交点。已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $360$ ， $\triangle EBF$ 的面积是多少？

In triangle $ABC,$ point $D$ divides side $\overline{AC}$ so that $AD : DC = 1 : 2.$ Let $E$ be the midpoint of $\overline{BD}$ and let $F$ be the point of intersection of line $BC$ and line $AE.$ Given that the area of $\triangle ABC$ is $360,$ what is the area of $\triangle EBF?$

$24$

$30$

$32$

$36$

$40$

答案：B

知识点：面积比三角形面积

难度评级：1840

小提示：

使用同一直线上的底边所给出的面积比

Use area ratios from bases on the same line

大提示：

设 $x = [EBF]$ ，并使用 $[AFD] : [DFC] = 1 : 2$

Let $x = [EBF]$ and use $[AFD] : [DFC] = 1 : 2$

视频讲解：

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文字解答：

因为 $AD : DC = 1 : 2$ ，三角形 $ABD$ 与 $DBC$ 的面积比也是 $1 : 2$ 。所以 $[ABD] = 120$ ， $[DBC] = 240$ 。

因为 $E$ 是 $BD$ 的中点，三角形 $ABE$ 和 $AED$ 的面积各为 $60$ 。设 $x = [EBF]$ 。同样有 $[DEF] = x$ ，因为 $BE = ED$ ，且两个三角形的第三个顶点都在直线 $AF$ 上。

线段 $DF$ 分割 $\triangle DBC$ ，所以 $[DFC] = 240 - 2x$ 。另外， $\triangle ADF$ 和 $\triangle DFC$ 的底边 $AD$ 与 $DC$ 在同一直线上，面积比为 $1 : 2$ 。

因此 $\dfrac{60 + x}{240 - 2x} = \dfrac{1}{2}\text{。}$ 解得 $120 + 2x = 240 - 2x$ ，所以 $x = 30$ 。

正确答案是 B。

Since $AD : DC = 1 : 2,$ triangles $ABD$ and $DBC$ have areas in the ratio $1 : 2.$ Thus $[ABD] = 120$ and $[DBC] = 240.$

Because $E$ is the midpoint of $BD,$ triangles $ABE$ and $AED$ each have area $60.$ Let $x = [EBF].$ Then $[DEF] = x$ as well, since $BE = ED$ and both triangles have their third vertex on line $AF.$

Segment $DF$ splits $\triangle DBC,$ so $[DFC] = 240 - 2x.$ Also, $\triangle ADF$ and $\triangle DFC$ have bases $AD$ and $DC$ on the same line, so their areas are in the ratio $1 : 2.$

Therefore $\dfrac{60 + x}{240 - 2x} = \dfrac{1}{2}.$ Solving gives $120 + 2x = 240 - 2x,$ so $x = 30.$

Thus, the correct answer is B.

2019 AMC 8 第 24 题