Question

线段 $\overline{AB}$ 长 $p$ 个单位。在其中点作长度为 $q$ 个单位的垂线段 $\overline{MR}$ 。以 $R$ 为圆心、 $\dfrac12\overline{AB}$ 为半径作弧，与 $\overline{AB}$ 交于 $T$ 。则 $\overline{AT}$ 和 $\overline{TB}$ 是下列哪个方程的根？

At the midpoint of line segment $\overline{AB}$ which is $p$ units long, a perpendicular $\overline{MR}$ is erected with length $q$ units. An arc is described from $R$ with a radius equal to $\dfrac12\overline{AB},$ meeting $\overline{AB}$ at $T.$ Then $\overline{AT}$ and $\overline{TB}$ are the roots of:

$x^2+px+q^2=0$

$x^2-px+q^2=0$

$x^2+px-q^2=0$

$x^2-px-q^2=0$

$x^2-px+q=0$

答案：B

知识点：勾股定理韦达定理圆

难度评级：1740

小提示：

线段长度之和 $\overline{AT}+\overline{TB}$ 等于 $p$

The sum $\overline{AT}+\overline{TB}$ is $p$

大提示：

在直角三角形 $RMT$ 中使用 $RT=\frac{p}{2}=AM$ ，证明 $\overline{AT}\cdot\overline{TB}=q^2$

Use $RT=\frac{p}{2}=AM$ in right triangle $RMT$ to show $\overline{AT}\cdot\overline{TB}=q^2$

解答：

令 $MT=t$ 。因为 $AM=BM=RT=\frac{p}{2}$ ，由勾股定理可得 $t^2+q^2=\frac{p^2}{4}\text{。}$ 此外， $AT=\frac p2+t,\qquad TB=\frac p2-t\text{。}$ 两者之和为 $p$ ，乘积为 $\frac{p^2}{4}-t^2=q^2\text{。}$ 因此它们是 $x^2-px+q^2=0$ 的两个根。

因此，正确答案是 B。

Let $MT=t.$ Since $AM=BM=RT=\frac{p}{2},$ the Pythagorean theorem gives $t^2+q^2=\frac{p^2}{4}.$ Also, $AT=\frac p2+t,\qquad TB=\frac p2-t.$ Their sum is $p,$ and their product is $\frac{p^2}{4}-t^2=q^2.$ Therefore they are the roots of $x^2-px+q^2=0.$

Thus, the correct answer is B.

1954 AMC 12 第 47 题

答案：B

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 47 题