Question

Emmy 对 Max 说：“我今天订了 $36$ 件数学俱乐部运动衫。”Max 问：“每件多少钱？”Emmy 回答：“我给你一个提示。总价是 $\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A}$ ，其中 $A$ 和 $B$ 是数字，且 $A \ne 0$ 。”停顿片刻后，Max 说：“这个价格不错。”求 $A + B$ 。

Emmy says to Max, "I ordered $36$ math club sweatshirts today." Max asks, "How much did each shirt cost?" Emmy responds, "I'll give you a hint. The total cost was $\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A},$ where $A$ and $B$ are digits and $A \ne 0.$ " After a pause, Max says, "That was a good price." What is $A + B?$

$7$

$8$

$11$

$14$

$15$

答案：C

知识点：整除性模运算位值

难度评级：1350

解答：

以美分为单位，总价是 $10000A + 1000B + 100B$ $+ 10B + A$ $= 10001A + 1110B$ 。它要平均分给 $36$ 件运动衫，所以能被 $36$ 整除。因为 $10001 \equiv 29$ 且 $1110 \equiv 30 \pmod{36}$ ，所以需要 $29A + 30B \equiv 0$ ，也就是 $7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}$ 。在 $A \ne 0$ 的数字解中，唯一可行的是 $A = 6, B = 5$ ，因为 $7 \cdot 6 + 6 \cdot 5 = 72$ 。这对应 $\$655.56$ ，也就是每件 $\$18.21$ ，所以 $A + B = 11$ 。因此正确答案是 C。

In cents the total is $10000A + 1000B + 100B$ $+ 10B + A$ $= 10001A + 1110B.$ Split evenly among $36$ shirts, so it's divisible by $36.$ Now $10001 \equiv 29$ and $1110 \equiv 30 \pmod{36},$ so we need $29A + 30B \equiv 0,$ which reduces to $7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}.$ The only digit solution with $A \ne 0$ is $A = 6, B = 5,$ since $7 \cdot 6 + 6 \cdot 5 = 72.$ That's $\$655.56,$ or $\$18.21$ a shirt, so $A + B = 11.$ Therefore, the answer is C.

2025 AMC 10B 第 8 题

答案：C

难度评级：1350

解答：

其他年份的第 8 题