Question

实数 $a, b$ 和 $c$ 的算术平均数为 $0$ 。 $a^2, b^2$ 和 $c^2$ 的算术平均数为 $10$ 。 $ab, ac$ 和 $bc$ 的算术平均数是多少？

Real numbers $a, b,$ and $c$ have arithmetic mean $0.$ The arithmetic mean of $a^2, b^2,$ and $c^2$ is $10.$ What is the arithmetic mean of $ab, ac,$ and $bc?$

$-5$

$-\dfrac{10}{3}$

$-\dfrac{10}{9}$

$0$

$\dfrac{10}{9}$

答案：A

知识点：代数变形平均数

难度评级：1350

解答：

由平均数可得 $a + b + c = 0$ 且 $a^2 + b^2 + c^2 = 30$ 。平方第一个等式： $(a+b+c)^2$ $= a^2 + b^2 + c^2$ $+ 2(ab + bc + ca)$ 。于是 $0 = 30 + 2(ab + bc + ca)$ ，所以 $ab + bc + ca = -15$ 。它们的平均数为 $-15 / 3 = -5$ 。因此正确答案是 A。

The means tell us $a + b + c = 0$ and $a^2 + b^2 + c^2 = 30.$ Square the first: $(a+b+c)^2$ $= a^2 + b^2 + c^2$ $+ 2(ab + bc + ca),$ so $0 = 30 + 2(ab + bc + ca)$ and $ab + bc + ca = -15.$ Their mean is $-15 / 3 = -5.$ Thus, A is the correct answer.

2024 AMC 10B 第 9 题

答案：A

难度评级：1350

解答：

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