Question

一个 $5 \times 5$ 整数数组中，每一行从左到右的数以及每一列从上到下的数都构成长度为 $5$ 的等差数列。位置 $(5, 5)$ 、 $(2, 4)$ 、 $(4, 3)$ 、 $(3, 1)$ 上的数分别为 $0$ 、 $48$ 、 $16$ 、 $12$ 。位置 $(1, 2)$ 上的数是多少？

$\begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}$

The numbers, in order, of each row and the numbers, in order, of each column of a $5 \times 5$ array of integers form an arithmetic progression of length $5.$ The numbers in positions $(5, 5),$ $(2, 4),$ $(4, 3),$ and $(3, 1)$ are $0,$ $48,$ $16,$ and $12,$ respectively. What number is in position $(1, 2)?$

$\begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}$

$19$

$24$

$29$

$34$

$39$

答案：C

知识点：等差数列方程组

难度评级：1990

解答：

若每行和每列都是等差数列，则第 $i$ 行第 $j$ 列可写成双线性形式 $f(i, j) = A + Bi + Cj + Dij$ 。代入 $f(5, 5) = 0$ 、 $f(2, 4) = 48$ 、 $f(4, 3) = 16$ 、 $f(3, 1) = 12$ 并求解，得到 $A = -10$ 、 $B = 5$ 、 $C = 22$ 、 $D = -5$ 。因此位置 $(1, 2)$ 的数为 $-10 + 5 + 2 \cdot 22 - 2 \cdot 5 = 29$ ，正确答案是 C。

If every row and every column is an arithmetic progression, the entry at row $i,$ column $j$ must take the bilinear form $f(i, j) = A + Bi + Cj + Dij.$ Plug in $f(5, 5) = 0,$ $f(2, 4) = 48,$ $f(4, 3) = 16,$ $f(3, 1) = 12$ and solve: $A = -10,$ $B = 5,$ $C = 22,$ $D = -5.$ So position $(1, 2)$ is $-10 + 5 + 2 \cdot 22 - 2 \cdot 5 = 29.$ Thus, C is the correct answer.

2024 AMC 10A 第 21 题

答案：C

难度评级：1990

解答：

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