Question

有多少个不同的 $x$ 值满足其中 $\lfloor x \rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数？ $\lfloor x \rfloor^2 - 3x + 2 = 0,$

How many distinct values of $x$ satisfy $\lfloor x \rfloor^2 - 3x + 2 = 0,$ where $\lfloor x \rfloor$ denotes the largest integer less than or equal to $x?$

无限多个

an infinite number

$4$

$2$

$3$

$0$

答案：B

知识点：取整函数换元法极限情形界定

难度评级：2120

解答：

令 $n = \lfloor x \rfloor$ 。方程 $n^2 - 3x + 2 = 0$ 给出 $x = \frac{n^2 + 2}{3}$ 。为了与这个定义一致，需要 $n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1$ 。左边不等式等价于 $n^2 - 3n + 2 \ge 0$ ，对整数 $n$ 均成立。右边不等式等价于 $n^2 - 3n - 1 \lt 0$ ，只对 $n \in \{0, 1, 2, 3\}$ 成立。这些值给出 $x = \frac{2}{3}, 1, 2, \frac{11}{3}$ ，所以有 $4$ 个不同的值。正确答案是 B。

Set $n = \lfloor x \rfloor.$ Then $n^2 - 3x + 2 = 0$ gives $x = \frac{n^2 + 2}{3}.$ For this to be consistent we need $n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1.$ The left side, $n^2 - 3n + 2 \ge 0,$ holds for every integer $n.$ The right side, $n^2 - 3n - 1 \lt 0,$ holds only for $n \in \{0, 1, 2, 3\}.$ Those give $x = \frac{2}{3}, 1, 2, \frac{11}{3},$ so there are $4$ distinct values. Therefore, the answer is B.

2023 AMC 10B 第 22 题

答案：B

难度评级：2120

解答：

其他年份的第 22 题