2023 AMC 10B 第 22 题

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22.

有多少个不同的

x

值满足

\lfloor x \rfloor^2 - 3x + 2 = 0\text{，}

其中

\lfloor x \rfloor

表示不超过

x

的最大整数？

How many distinct values of

x

satisfy

\lfloor x \rfloor^2 - 3x + 2 = 0,

where

\lfloor x \rfloor

denotes the largest integer less than or equal to

x?

无限多个

an infinite number

4

2

3

0

答案：B

知识点：取整函数换元法极限情形界定

难度评级：2120

小提示：

令

n = \lfloor x \rfloor

，则

x = \frac{n^2 + 2}{3}

。

Set

n = \lfloor x \rfloor;

then

x = \frac{n^2 + 2}{3}

大提示：

要求

n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1

，并找出满足条件的整数

n

。

Require

n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1

and find the integers

n

that work

解答：

令

n = \lfloor x \rfloor

。方程

n^2 - 3x + 2 = 0

给出

x = \frac{n^2 + 2}{3}

。为了与这个定义一致，需要

n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1

。左边不等式等价于

n^2 - 3n + 2 \ge 0

，对整数

n

均成立。右边不等式等价于

n^2 - 3n - 1 \lt 0

，只对

n \in \{0, 1, 2, 3\}

成立。这些值给出

x = \frac{2}{3}, 1, 2, \frac{11}{3}

，所以有

4

个不同的值。正确答案是 B。

Set

n = \lfloor x \rfloor.

Then

n^2 - 3x + 2 = 0

gives

x = \frac{n^2 + 2}{3}.

For this to be consistent we need

n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1.

The left side,

n^2 - 3n + 2 \ge 0,

holds for every integer

n.

The right side,

n^2 - 3n - 1 \lt 0,

holds only for

n \in \{0, 1, 2, 3\}.

Those give

x = \frac{2}{3}, 1, 2, \frac{11}{3},

so there are

4

distinct values. Therefore, the answer is B.