2023 AMC 10B 第 14 题

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14.

有多少个整数有序对

(m, n)

满足下列方程？

m^2 + mn + n^2 = m^2 n^2\text{？}

How many ordered pairs of integers

(m, n)

satisfy the equation

m^2 + mn + n^2 = m^2 n^2?

7

1

3

6

5

答案：C

知识点：丢番图方程极限情形界定分类讨论

难度评级：1660

小提示：

若

m = 0

，则

n = 0

；否则可假设

|m| \le |n|

。

If

m = 0

then

n = 0;

otherwise assume

|m| \le |n|

大提示：

然后

m^2 n^2 = m^2 + mn + n^2 \le 3n^2

，迫使

m^2 \le 3

。

Then

m^2 n^2 = m^2 + mn + n^2 \le 3n^2

forces

m^2 \le 3

解答：

若

m = 0

，方程迫使

n^2 = 0

，得到

(0, 0)

。否则两者都非零。不妨假设

|m| \le |n|

。则

m^2 n^2 = m^2 + mn + n^2 \le 3n^2

，所以

m^2 \le 3

，即

m = \pm 1

。当

m = 1

时，

1 + n + n^2 = n^2

，得

n = -1

。当

m = -1

时，得

n = 1

。加上

(0,0), (1,-1), (-1,1)

，共有三个有序对。所以正确答案是 C。

If

m = 0,

the equation forces

n^2 = 0,

giving

(0, 0).

Otherwise both are nonzero; assume

|m| \le |n|.

Then

m^2 n^2 = m^2 + mn + n^2 \le 3n^2,

so

m^2 \le 3

and

m = \pm 1.

Take

m = 1:

1 + n + n^2 = n^2

gives

n = -1.

Take

m = -1:

n = 1.

That leaves

(0,0), (1,-1), (-1,1),

three in all. Therefore, the answer is C.