Question

如果 $A$ 和 $B$ 是一个多面体的顶点，定义距离 $d(A, B)$ 为沿该多面体的棱从 $A$ 连接到 $B$ 所需经过的最少棱数。例如，如果 $AB$ 是多面体的一条棱，则 $d(A, B) = 1$ ；但如果 $AC$ 和 $CB$ 是棱而 $AB$ 不是棱，则 $d(A, B) = 2$ 。设 $Q$ 、 $R$ 、 $S$ 是从一个正二十面体（由 $20$ 个等边三角形组成的正多面体）的顶点中随机选出的三个不同顶点。求 $d(Q, R) \gt d(R, S)$ 的概率。

If $A$ and $B$ are vertices of a polyhedron, define the distance $d(A, B)$ to be the minimum number of edges of the polyhedron one must traverse in order to connect $A$ and $B.$ For example, if $AB$ is an edge of the polyhedron, then $d(A, B) = 1,$ but if $AC$ and $CB$ are edges and $AB$ is not an edge, then $d(A, B) = 2.$ Let $Q,$ $R,$ and $S$ be randomly chosen distinct vertices of a regular icosahedron (a regular polyhedron made up of $20$ equilateral triangles). What is the probability that $d(Q, R) \gt d(R, S)?$

$\dfrac{7}{22}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{1}{2}$

答案：A

知识点：图论对称性基本概率

难度评级：2600

解答：

固定 $R$ 。在其他 $11$ 个顶点中，有 $5$ 个到该固定顶点的距离为 $1$ ， $5$ 个距离为 $2$ ，还有 $1$ 个（对顶点）距离为 $3$ 。从这 $11$ 个顶点中有序选出不同的 $Q, S$ ，共有 $11 \cdot 10 = 110$ 对。满足 $d(R,Q) = d(R,S)$ 的对数为 $5\cdot4 + 5\cdot4 + 1\cdot0 = 40$ ，所以 $P(\text{equal}) = \frac{40}{110} = \frac{4}{11}$ 。由 $Q$ 与 $S$ 的对称性， $\gt$ 和 $\lt$ 的情况平分剩余概率，所以 $P(d(Q,R) \gt d(R,S))$ $= \frac{1 - \frac4{11}}{2}$ $= \frac{7}{22}$ 。因此，正确答案是 A。

Fix $R.$ Of the other $11$ vertices, $5$ sit at distance $1,$ $5$ at distance $2,$ and $1$ (the opposite vertex) at distance $3.$ Pick ordered distinct $Q, S$ from these $11:$ that's $11 \cdot 10 = 110$ pairs. The ones with $d(R,Q) = d(R,S)$ number $5\cdot4 + 5\cdot4 + 1\cdot0 = 40,$ so $P(\text{equal}) = \frac{40}{110} = \frac{4}{11}.$ By the symmetry between $Q$ and $S,$ the $\gt$ and $\lt$ cases split the rest evenly, so $P(d(Q,R) \gt d(R,S))$ $= \frac{1 - \frac4{11}}{2}$ $= \frac{7}{22}.$ Thus, A is the correct answer.

2023 AMC 10A 第 25 题

答案：A

难度评级：2600

解答：

其他年份的第 25 题