Question

如果分数 $\frac{a}{b}$ 不一定为最简形式，且 $a$ 、 $b$ 为正整数、两者之和为 $15$ ，则称它为“特殊”分数。有多少个不同的整数可以写成两个不一定不同的特殊分数之和？

Call a fraction $\frac{a}{b},$ not necessarily in simplest form, special if $a$ and $b$ are positive integers whose sum is $15.$ How many distinct integers can be written as the sum of two, not necessarily different, special fractions?

$\ 9$

$\ 10$

$\ 11$

$\ 12$

$\ 13$

答案：C

知识点：分数整除性系统列举

难度评级：1660

解答：

分母为 $b$ 的特殊分数等于 $\frac{15-b}{b}=\frac{15}{b}-1$ ，其中 $1\le b\le14$ 。所求整数可写成 $\frac{15}{x}+\frac{15}{y}-2$ 。

逐一检查可能分母的小数部分，得到不同的整数和为 $x\le y$ ， $1,2,3,4,6,7,8,13,16,18,28$ 。 $\begin{gathered} (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),\\ (2,10),(3,3),(3,5),(4,12),\\ (5,5),(6,6),(6,10),(10,10). \end{gathered}$

这样的整数共有 $11$ 个。

所以答案是 C。

A special fraction with denominator $b$ equals $\frac{15-b}{b}=\frac{15}{b}-1,$ where $1\le b\le14.$ We need integer values of $\frac{15}{x}+\frac{15}{y}-2.$

Taking $x\le y,$ a check of the fourteen possible denominators gives the following pairs that produce integers: $\begin{gathered} (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),\\ (2,10),(3,3),(3,5),(4,12),\\ (5,5),(6,6),(6,10),(10,10). \end{gathered}$ Their distinct sums are $1,2,3,4,6,7,8,13,16,18,28.$

There are $11$ such integers.

Thus, the answer is C .

2021 AMC 10B Fall 第 7 题

答案：C

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 7 题