Question

实数 $x$ 满足方程求 $x^{11}-7x^{7}+x^3$ 的值。 $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}.$

The real number $x$ satisfies the equation $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}.$ What is the value of $x^{11}-7x^{7}+x^3?$

$-1$

$0$

$1$

$2$

$\sqrt{5}$

答案：B

知识点：代数变形对称性（代数）

难度评级：1340

视频讲解：

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文字解答：

由 $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}$ ，平方得再平方一次：即两边乘以 $x^7$ ，得到 $x^2 + 2 + \frac 1{x^2} = 5$ $x^2 + \frac 1{x^2} = 3.$ $x^4 + 2 + \frac 1{x^4} = 9$ $x^4 -7 + \frac 1{x^4} = 0.$ $x^{11}-7x^{7}+x^3=0.$

所以答案是 B。

Since $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5},$ squaring yields $x^2 + 2 + \frac 1{x^2} = 5$ $x^2 + \frac 1{x^2} = 3.$ Squaring again yields $x^4 + 2 + \frac 1{x^4} = 9$ $x^4 -7 + \frac 1{x^4} = 0.$ Multiplying by $x^7$ yields $x^{11}-7x^{7}+x^3=0.$

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Spring 第 15 题

答案：B

难度评级：1340

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其他年份的第 15 题