2020 AMC 10B 第 8 题

Question

平面内点

P

和

Q

满足

PQ=8

。平面内有多少个点

R

，使得以

P

、

Q

、

R

为顶点的三角形是直角三角形，且面积为

12

平方单位？

Points

P

and

Q

lie in a plane with

PQ=8.

How many locations for point

R

in this plane are there such that the triangle with vertices

P,

Q,

and

R

is a right triangle with area

12

square units?

2

4

6

8

12

答案：D

知识点：直角三角形三角形面积坐标几何分类讨论

难度评级：1420

小提示：

面积条件确定了

R

到直线

PQ

的距离。

The area condition fixes the distance from

R

to line

PQ

大提示：

分别考虑直角在

P

、

Q

、或

R

的情况。

Separate the cases where the right angle is at

P,

Q,

or

R

解答：

取

P=(-4,0)

、

Q=(4,0)

。因为面积为

12

且

PQ=8

，点

R

到直线

PQ

的距离为

3

，所以

R=(x,\pm 3)

。

若直角在

P

，则

R=(-4,\pm 3)

，给出

2

点。若直角在

Q

，则

R=(4,\pm 3)

，再给出

2

点。

若直角在

R

，则

PQ

是斜边，所以

\begin{aligned} &64=PR^2+QR^2 \\ &\quad =(x+4)^2+9 \\ &\quad {}+(x-4)^2+9 \\ &\quad =2x^2+50\text{。} \end{aligned}

因此

x^2=7

，给出

R=(\pm\sqrt7,\pm 3)

，另有

4

点。

总数为

2+2+4=8

。

所以正确答案是 D。

Place

P=(-4,0)

and

Q=(4,0).

Since the area is

12

and

PQ=8,

the distance from

R

to line

PQ

is

3,

so

R=(x,\pm 3).

If the right angle is at

P,

then

R=(-4,\pm 3),

giving

2

points. If it is at

Q,

then

R=(4,\pm 3),

giving

2

more points.

If the right angle is at

R,

then

PQ

is the hypotenuse, so

\begin{aligned} &64=PR^2+QR^2 \\ &\quad =(x+4)^2+9 \\ &\quad {}+(x-4)^2+9 \\ &\quad =2x^2+50. \end{aligned}

Thus

x^2=7,

giving

R=(\pm\sqrt7,\pm 3),

another

4

points.

The total is

2+2+4=8.

Thus, the correct answer is D .

2020 AMC 10B 第 8 题

答案：D

难度评级：1420

小提示：

大提示：

解答：

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