Question

平面内点 $P$ 和 $Q$ 满足 $PQ=8$ 。平面内有多少个点 $R$ ，使得以 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 为顶点的三角形是直角三角形，且面积为 $12$ 平方单位？

Points $P$ and $Q$ lie in a plane with $PQ=8.$ How many locations for point $R$ in this plane are there such that the triangle with vertices $P,$ $Q,$ and $R$ is a right triangle with area $12$ square units?

$2$

$4$

$6$

$8$

$12$

答案：D

知识点：直角三角形三角形面积坐标几何分类讨论

难度评级：1420

解答：

取 $P=(-4,0)$ 、 $Q=(4,0)$ 。因为面积为 $12$ 且 $PQ=8$ ，点 $R$ 到直线 $PQ$ 的距离为 $3$ ，所以 $R=(x,\pm 3)$ 。

若直角在 $P$ ，则 $R=(-4,\pm 3)$ ，给出 $2$ 点。若直角在 $Q$ ，则 $R=(4,\pm 3)$ ，再给出 $2$ 点。

若直角在 $R$ ，则 $PQ$ 是斜边，所以因此 $x^2=7$ ，给出 $R=(\pm\sqrt7,\pm 3)$ ，另有 $4$ 点。 $\begin{aligned} &64=PR^2+QR^2 \\ &\quad =(x+4)^2+9 \\ &\quad {}+(x-4)^2+9 \\ &\quad =2x^2+50. \end{aligned}$

总数为 $2+2+4=8$ 。

所以正确答案是 D。

Place $P=(-4,0)$ and $Q=(4,0).$ Since the area is $12$ and $PQ=8,$ the distance from $R$ to line $PQ$ is $3,$ so $R=(x,\pm 3).$

If the right angle is at $P,$ then $R=(-4,\pm 3),$ giving $2$ points. If it is at $Q,$ then $R=(4,\pm 3),$ giving $2$ more points.

If the right angle is at $R,$ then $PQ$ is the hypotenuse, so $\begin{aligned} &64=PR^2+QR^2 \\ &\quad =(x+4)^2+9 \\ &\quad {}+(x-4)^2+9 \\ &\quad =2x^2+50. \end{aligned}$ Thus $x^2=7,$ giving $R=(\pm\sqrt7,\pm 3),$ another $4$ points.

The total is $2+2+4=8.$

Thus, the correct answer is D .

2020 AMC 10B 第 8 题

答案：D

难度评级：1420

解答：

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