2020 AMC 10B 第 7 题

Question

小于

2020

的正偶数且为

3

的倍数的数中，有多少个是完全平方数？

How many positive even multiples of

3

less than

2020

are perfect squares?

7

8

9

10

12

答案：A

知识点：完全平方数整除性

难度评级：960

小提示：

一个既是偶数又是

3

的倍数的平方数，其平方根必须能被

6

整除。

A square that is an even multiple of

3

has a square root divisible by

6

大提示：

统计平方小于

2020

的正的

6

的倍数。

Count positive multiples of

6

whose squares are less than

2020

解答：

一个数既是偶数又是

3

的倍数时，它是

6

的倍数。若它还是完全平方数，则其平方根必须同时被

2

和

3

整除，因而被

6

整除。因此所求平方数恰好为

(6k)^2<2020\text{，}

其中

k

为正整数。

因为

42^2=1764<2020

且

48^2=2304>2020

，所以

k=1,2,\ldots,7

，共有

7

个数。

所以正确答案是 A。

A number that is both even and a multiple of

3

is a multiple of

6.

If such a number is also a perfect square, its square root must be divisible by both

2

and

3,

hence by

6.

Therefore the numbers counted are exactly

(6k)^2<2020

for positive integers

k.

Since

42^2=1764<2020

and

48^2=2304>2020,

we have

k=1,2,\ldots,7,

for a total of

7

numbers.

Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 10B 第 7 题

答案：A

难度评级：960

小提示：

大提示：

解答：

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