Question

有多少个正整数 $n \le 1000$ ，使得不能被 $3$ 整除？这里 $\lfloor x \rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。 $\left\lfloor \dfrac{998}{n} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{999}{n} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{1000}{n}\right \rfloor$

For how many positive integers $n \le 1000$ is $\left\lfloor \dfrac{998}{n} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{999}{n} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{1000}{n}\right \rfloor$ not divisible by $3?$ (Recall that $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x.$ )

$22$

$23$

$24$

$25$

$26$

答案：A

知识点：取整函数整除性因数个数

难度评级：2380

视频讲解：

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文字解答：

写作 $1000=qn+r$ ，其中 $0\le r<n$ 。则 $\left\lfloor\dfrac{1000}{n}\right\rfloor=q$ 。另外两个取整值通常也是 $q$ ，只有当减去 $1$ 或 $2$ 后，从 $1000$ 跨过了 $n$ 的倍数时，也就是 $r$ 较小时，才会减少。

对 $n>1$ ，三个取整值之和不能被 $3$ 整除当且仅当 $r=0$ 或 $r=1$ 。 $r=0$ 对应 $1000$ 的因数，除去 $1$ 后有 $15$ 个。 $r=1$ 对应 $999$ 的因数且不为 $1$ ，这样的因数有 $(3+1)(1+1)-1=7$ 个。总数为 $22$ 。正确答案是 A。

Write $1000=qn+r$ , where $0\le r<n$ . Then $\left\lfloor\dfrac{1000}{n}\right\rfloor=q$ . The other two floors are usually also $q$ , except that subtracting $1$ or $2$ from $1000$ crosses a multiple of $n$ when $r$ is small.

For $n>1$ , the sum is not divisible by $3$ exactly when $r=0$ or $r=1$ . The case $r=0$ gives divisors of $1000$ , excluding $1$ , for $15$ values. The case $r=1$ gives divisors of $999$ , excluding $1$ , for $(3+1)(1+1)-1=7$ values. The total is $22$ . Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 10A 第 22 题

答案：A

难度评级：2380

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