Question

存在唯一严格递增的非负整数序列 $a_1<a_2<\cdots<a_k$ ，使得求 $k$ 。 $\frac{2^{289}+1}{2^{17}+1}=2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_k}.$

There exists a unique strictly increasing sequence of nonnegative integers $a_1<a_2<\cdots<a_k$ such that $\frac{2^{289}+1}{2^{17}+1}=2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_k}.$ What is $k?$

$117$

$136$

$137$

$273$

$306$

答案：C

知识点：进制因式分解配对与分组

难度评级：2380

视频讲解：

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文字解答：

令 $X=2^{17}$ 。则 $\begin{gathered} \dfrac{2^{289}+1}{2^{17}+1} = \dfrac{X^{17}+1}{X+1} \\ = X^{16}-X^{15}+X^{14} \\ {}-\cdots-X+1 \end{gathered}$

把相邻项配成 $X^{16}-X^{15}$ 、 $X^{14}-X^{13}$ 、 $\ldots$ 、 $X^2-X$ ，最后剩下 $+1$ 。每一对都形如 $2^{17m}(2^{17}-1)$ ，在二进制表示中贡献 $17$ 个一。共有 $8$ 对，再加最后的 $1$ ，所以 $k=8\cdot17+1=137$ 。正确答案是 C。

Let $X=2^{17}$ . Then $\begin{gathered} \dfrac{2^{289}+1}{2^{17}+1} = \dfrac{X^{17}+1}{X+1} \\ = X^{16}-X^{15}+X^{14} \\ {}-\cdots-X+1 \end{gathered}$ .

Pair consecutive terms: $X^{16}-X^{15}$ , $X^{14}-X^{13}$ , $\ldots$ , $X^2-X$ , and then the final $+1$ . Each pair is $2^{17m}(2^{17}-1)$ , contributing $17$ ones in binary. There are $8$ such pairs plus the final $1$ , so $k=8\cdot17+1=137$ . Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 10A 第 21 题

答案：C

难度评级：2380

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其他年份的第 21 题