2019 AMC 10B 第 4 题

Question

所有方程为

ax+by=c

且

a

，

b

，

c

构成等差数列的直线都经过同一个点。这个点的坐标是什么？

All lines with equation

ax+by=c

such that

a,

b,

c

form an arithmetic progression pass through a common point. What are the coordinates of that point?

(-1,2)

(0,1)

(1,-2)

(1,0)

(1,2)

答案：A

知识点：一次方程等差数列坐标几何

难度评级：1220

小提示：

写成

b=a+d

，

c=a+2d

。

Write

b=a+d

and

c=a+2d

大提示：

方程必须对所有可能的

a

和

d

都成立。

The equation must hold for every possible

a

and

d

解答：

令

d=b-a

。

于是

(a,b,c)= (a,a+d,a+2d)\text{。}

因此

ax+(a+d)y=a+2d\text{。}

分别比较

a

和

d

的部分，可得

ax+ay=a

以及

dy=2d

对所有

a,d

都成立。所以

y=2,x+y=1

从而

x=-1\text{。}

公共点为

(-1,2)

。

所以答案是 A。

Let

d=b-a.

Then, we have

(a,b,c)= (a,a+d,a+2d).

Thus,

ax+(a+d)y=a+2d.

If we match the parts of

a

and

d,

we get

ax+ay=a

and

dy=2d

for all

a,d.

Therefore, we have

y=2,x+y=1

implying that

x=-1.

This makes the pair

(-1,2).

Thus, the answer is A .

2019 AMC 10B 第 4 题

答案：A

难度评级：1220

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题