Question

$19!$ 的十进制表示为 $121,6T5,100,40M,832,H00$ ，其中 $T$ 、 $M$ 、 $H$ 表示未给出的数字。求 $T+M+H$ 。

The base-ten representation for $19!$ is $121,6T5,100,40M,832,H00,$ where $T,$ $M,$ and $H$ denote digits that are not given. What is $T+M+H?$

$3$

$8$

$12$

$14$

$17$

答案：C

知识点：整除性数字阶乘

难度评级：1610

解答：

因为 $19!$ 能被 $1000$ 整除，它的末三位都是零，所以 $H=0$ 。

因为 $19!$ 能被 $9$ 整除，它的数位和 $33+T+M$ 也能被 $9$ 整除。因此 $T+M\equiv3\pmod9$ ，所以 $T+M$ 是 $3$ 或 $12$ 。

能被 $11$ 整除说明交错数位和 $T-M-7$ 能被 $11$ 整除，所以 $T-M\equiv7\pmod{11}$ 。检查这两个同余式下的数字可能性，得到 $T=4$ 、 $M=8$ 。因此 $T+M+H=4+8+0=12$ 。

所以答案是 C。

Because $19!$ is divisible by $1000$ , its last three digits are zero, so $H=0$ .

Since $19!$ is divisible by $9$ , its digit sum $33+T+M$ is divisible by $9$ . Hence $T+M\equiv3\pmod9$ , so $T+M$ is either $3$ or $12$ .

Divisibility by $11$ says the alternating digit sum $T-M-7$ is divisible by $11$ , so $T-M\equiv7\pmod{11}$ . Checking the digit possibilities from these two congruences gives $T=4$ and $M=8$ . Therefore $T+M+H=4+8+0=12$ .

Thus, the answer is C .

2019 AMC 10B 第 14 题

答案：C

难度评级：1610

解答：

其他年份的第 14 题