Question

对某个正整数 $k$ ，十进制分数 $\dfrac{7}{51}$ 的 $k$ 进制循环表示为求 $k$ 。 $0.\overline{23}_k = 0.232323..._k.$

For some positive integer $k,$ the repeating base- $k$ representation of the (base-ten) fraction $\dfrac{7}{51}$ is $0.\overline{23}_k = 0.232323..._k.$ What is $k?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

答案：D

知识点：进制循环小数等比数列

难度评级：1660

解答：

这个以 $k$ 为底的循环小数为 $2k^{-1}+3k^{-2}$ $+2k^{-3}+3k^{-4}+\cdots$ 。按奇偶次幂分组得 $\begin{aligned} &2(k^{-1}+k^{-3}+\cdots) \\ &\quad {}+3(k^{-2}+k^{-4}+\cdots). \end{aligned}$

利用等比级数，两部分分别为 $\dfrac{2k}{k^2-1}$ 和 $\dfrac{3}{k^2-1}$ ，所以 $0.\overline{23}_k=\dfrac{2k+3}{k^2-1}$ 。

令 $\dfrac{2k+3}{k^2-1}=\dfrac{7}{51}$ ，得到 $51(2k+3)=7(k^2-1)$ ，即 $7k^2-102k-160=0$ 。正整数解为 $k=16$ 。所以正确答案是 D。

The repeating base- $k$ fraction is $2k^{-1}+3k^{-2}$ $+2k^{-3}+3k^{-4}+\cdots$ . Grouping odd and even powers gives $\begin{aligned} &2(k^{-1}+k^{-3}+\cdots) \\ &\quad {}+3(k^{-2}+k^{-4}+\cdots). \end{aligned}$

Using geometric series, these sums are $\dfrac{2k}{k^2-1}$ and $\dfrac{3}{k^2-1}$ , so $0.\overline{23}_k=\dfrac{2k+3}{k^2-1}$ .

Setting $\dfrac{2k+3}{k^2-1}=\dfrac{7}{51}$ gives $51(2k+3)=7(k^2-1)$ , so $7k^2-102k-160=0$ . Hence $k=16$ . Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 10A 第 18 题

答案：D

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 18 题