2019 AMC 10A 第 18 题

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18.

对某个正整数

k

，十进制分数

\dfrac{7}{51}

的

k

进制循环表示为

0.\overline{23}_k = 0.232323..._k\text{。}

求

k

。

For some positive integer

k,

the repeating base-

k

representation of the (base-ten) fraction

\dfrac{7}{51}

is

0.\overline{23}_k = 0.232323..._k.

What is

k?

13

14

15

16

17

答案：D

知识点：进制循环小数等比数列

难度评级：1660

小提示：

把

0.\overline{23}_k

展开成等比级数。

Expand

0.\overline{23}_k

as a geometric series

大提示：

每两位后，公比为

k^{-2}

。

The common ratio after two digits is

k^{-2}

解答：

这个以

k

为底的循环小数为

2k^{-1}+3k^{-2}

+2k^{-3}+3k^{-4}+\cdots

。按奇偶次幂分组得

\begin{aligned} &2(k^{-1}+k^{-3}+\cdots) \\ &\quad {}+3(k^{-2}+k^{-4}+\cdots) \end{aligned}\text{。}

利用等比级数，两部分分别为

\dfrac{2k}{k^2-1}

和

\dfrac{3}{k^2-1}

，所以

0.\overline{23}_k=\dfrac{2k+3}{k^2-1}

。

令

\dfrac{2k+3}{k^2-1}=\dfrac{7}{51}

，得到

51(2k+3)=7(k^2-1)

，即

7k^2-102k-160=0

。正整数解为

k=16

。所以正确答案是 D。

The repeating base-

k

fraction is

2k^{-1}+3k^{-2}

+2k^{-3}+3k^{-4}+\cdots

. Grouping odd and even powers gives

\begin{aligned} &2(k^{-1}+k^{-3}+\cdots) \\ &\quad {}+3(k^{-2}+k^{-4}+\cdots). \end{aligned}

Using geometric series, these sums are

\dfrac{2k}{k^2-1}

and

\dfrac{3}{k^2-1}

, so

0.\overline{23}_k=\dfrac{2k+3}{k^2-1}

.

Setting

\dfrac{2k+3}{k^2-1}=\dfrac{7}{51}

gives

51(2k+3)=7(k^2-1)

, so

7k^2-102k-160=0

. Hence

k=16

. Thus, D is the correct answer.