Question

在实 $xy$ 平面内，曲线 $x^2+y^2=a^2$ 与 $y=x^2-a$ 恰好相交于 $3$ 个点时，下列哪一项描述了 $a$ 的取值范围？

Which of the following describes the set of values of $a$ for which the curves $x^2+y^2=a^2$ and $y=x^2-a$ in the real $xy$ -plane intersect at exactly $3$ points?

$a = \dfrac14$

$\dfrac14 \lt a \lt \dfrac12$

$a \gt \dfrac14$

$a = \dfrac12$

$a \gt \dfrac12$

答案：E

知识点：抛物线圆换元法

难度评级：1820

解答：

把 $y=x^2-a$ 代入 $x^2+y^2=a^2$ ，得到 $x^2+(x^2-a)^2=a^2$ ，所以 $x^2(x^2-(2a-1))=0$ 。

因子 $x^2=0$ 总会给出一个交点 $(0,-a)$ 。另一个因子恰好在 $2a-1>0$ 时给出两个额外的实交点。

因此，恰有三个交点的条件是 $a>\dfrac12$ 。所以正确答案是 E。

Substitute $y=x^2-a$ into $x^2+y^2=a^2$ . This gives $x^2+(x^2-a)^2=a^2$ , so $x^2(x^2-(2a-1))=0$ .

The factor $x^2=0$ always gives the single point $(0,-a)$ . The other factor gives two additional real points exactly when $2a-1>0$ .

There are exactly three intersection points when $a>\dfrac12$ . Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 10A 第 21 题

答案：E

难度评级：1820

解答：

其他年份的第 21 题