2018 AMC 10A 第 21 题

Question

在实

xy

平面内，曲线

x^2+y^2=a^2

与

y=x^2-a

恰好相交于

3

个点时，下列哪一项描述了

a

的取值范围？

Which of the following describes the set of values of

a

for which the curves

x^2+y^2=a^2

and

y=x^2-a

in the real

xy

-plane intersect at exactly

3

points?

a = \dfrac14

\dfrac14 \lt a \lt \dfrac12

a \gt \dfrac14

a = \dfrac12

a \gt \dfrac12

答案：E

知识点：抛物线圆换元法

难度评级：1820

小提示：

把抛物线方程代入圆的方程。

Substitute the parabola equation into the circle equation

大提示：

只有当

2a-1

为正数时，才会出现非零根。

The nonzero roots appear only when

2a-1

is positive

解答：

把

y=x^2-a

代入

x^2+y^2=a^2

，得到

x^2+(x^2-a)^2=a^2

，所以

x^2(x^2-(2a-1))=0

。

因子

x^2=0

总会给出一个交点

(0,-a)

。另一个因子恰好在

2a-1>0

时给出两个额外的实交点。

因此，恰有三个交点的条件是

a>\dfrac12

。所以正确答案是 E。

Substitute

y=x^2-a

into

x^2+y^2=a^2

. This gives

x^2+(x^2-a)^2=a^2

, so

x^2(x^2-(2a-1))=0

.

The factor

x^2=0

always gives the single point

(0,-a)

. The other factor gives two additional real points exactly when

2a-1>0

.

There are exactly three intersection points when

a>\dfrac12

. Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 10A 第 21 题

答案：E

难度评级：1820

小提示：

大提示：

解答：

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