2016 AMC 10A 第 9 题

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9.

一个由

2016

枚硬币组成的三角形阵列，第一行有

1

枚硬币，第二行有

2

枚，第三行有

3

枚，依此类推，第

N

行有

N

枚。求

N

的各位数字之和。

A triangular array of

2016

coins has

1

coin in the first row,

2

coins in the second row,

3

coins in the third row, and so on up to

N

coins in the

N

th row. What is the sum of the digits of

N?

6

7

8

9

10

答案：D

知识点：三角形数因式分解数字

难度评级：1070

小提示：

解方程

\frac{N(N+1)}{2}=2016

。

Solve

\frac{N(N+1)}{2}=2016

大提示：

寻找乘积为

4032

的连续整数。

Look for consecutive factors of

4032

解答：

回忆前

N

个整数之和为

\dfrac{N(N + 1)}{2}

。

我们要找

N

，使得

\dfrac{N(N + 1)}{2} = 2016\text{。}

交叉相乘并化简，得到

N^2 + N - 4032 = 0\text{。}

因式分解得

(N - 63)(N + 64) = 0\text{。}

取正值，

N = 63

。各位数字和为

9

。

所以正确答案是 D。

Recall that the sum of the first

N

numbers is

\dfrac{N(N + 1)}{2}.

We want to find

N

such that

\dfrac{N(N + 1)}{2} = 2016.

Cross-multiplying and simplifying gives us

N^2 + N - 4032 = 0.

Factoring gives us

(N - 63)(N + 64) = 0.

We want the positive value so

N = 63.

Adding together the digits gives us

9.

Thus, the correct answer is D .