2016 AMC 10A 第 4 题

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4.

对所有实数

x

和满足

y \neq 0

的实数

y

，余数函数定义为

\operatorname{rem}(x,y)=x-y\left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor\text{，}

其中

\left \lfloor \frac{x}{y} \right \rfloor

表示小于或等于

\frac{x}{y}

的最大整数。求

\text{rem} \left(\frac{3}{8}, -\frac{2}{5} \right)

的值。

The remainder function can be defined for all real numbers

x

and

y

with

y \neq 0

by

\operatorname{rem}(x,y)=x-y\left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor,

where

\left \lfloor \frac{x}{y} \right \rfloor

denotes the greatest integer less than or equal to

\frac{x}{y}.

What is the value of

\text{rem} \left(\frac{3}{8}, -\frac{2}{5} \right)?

-\dfrac{3}{8}

-\dfrac{1}{40}

0

\dfrac{3}{8}

\dfrac{31}{40}

答案：B

知识点：取整函数分数

难度评级：1140

小提示：

先计算

\frac{x}{y}

，再取下取整。

Compute

\frac{x}{y}

before applying the floor function

大提示：

\left\lfloor-\frac{15}{16}\right\rfloor=-1

。

\left\lfloor-\frac{15}{16}\right\rfloor=-1

解答：

代入公式，得到

\begin{aligned} \text{rem} \left(\dfrac{3}{8}, -\dfrac{2}{5}\right) &= \dfrac{3}{8} \\ &{}+ \dfrac{2}{5} \left \lfloor \dfrac{\frac{3}{8}}{-\frac{2}{5}}\right \rfloor \\ &= \dfrac{3}{8} \\ &{}+ \dfrac{2}{5} \left \lfloor -\dfrac{15}{16} \right \rfloor \\ &= \dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{5} \cdot -1 \\ &= \dfrac{3}{8} - \dfrac{2}{5} \\ &= - \dfrac{1}{40} \end{aligned}

所以正确答案是 B。

Using the formula, we get

\begin{aligned} \text{rem} \left(\dfrac{3}{8}, -\dfrac{2}{5}\right) &= \dfrac{3}{8} \\ &{}+ \dfrac{2}{5} \left \lfloor \dfrac{\frac{3}{8}}{-\frac{2}{5}}\right \rfloor \\ &= \dfrac{3}{8} \\ &{}+ \dfrac{2}{5} \left \lfloor -\dfrac{15}{16} \right \rfloor \\ &= \dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{5} \cdot -1 \\ &= \dfrac{3}{8} - \dfrac{2}{5} \\ &= - \dfrac{1}{40} \end{aligned}

Thus, the correct answer is B .