Question

一个长方体尺寸为 $a \times b \times c$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是整数，且该长方体的体积和表面积在数值上相等。可能的有序三元组 $(a,b,c)$ 有多少个？ $1\leq a \leq b \leq c.$

A rectangular box measures $a \times b \times c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers and $1\leq a \leq b \leq c.$ The volume and the surface area of the box are numerically equal. How many ordered triples $(a,b,c)$ are possible?

$4$

$10$

$12$

$21$

$26$

答案：B

知识点：丢番图方程西蒙最爱的因式分解技巧分类讨论

难度评级：2010

解答：

条件为因为 $abc\le6bc$ ，所以 $a\le6$ 。此外， $a=1$ 和 $a=2$ 都没有正整数解，因此只需检查 $a=3,4,5,6$ 。 $abc=2(ab+ac+bc).$

当 $a=3$ 时， $(b-6)(c-6)=36$ ，得到 $(b,c)=(7,42)$ $(8,24)$ $(9,18)$ $(10,15)$ $(12,12)$ 。当 $a=4$ 时， $(b-4)(c-4)=16$ ，得到 $(5,20),(6,12),(8,8)$ 。

当 $a=5$ 时， $(3b-10)(3c-10)=100$ ，满足 $a\le b\le c$ 的唯一解是 $(b,c)=(5,10)$ 。当 $a=6$ 时， $(b-3)(c-3)=9$ ，满足 $a\le b\le c$ 的唯一解是 $(6,6)$ 。

所以三元组总数为 $5+3+1+1=10$ 。

所以正确答案是 B。

The condition is $abc=2(ab+ac+bc).$ Since $abc\le6bc$ , we have $a\le6$ . Also $a=1$ and $a=2$ give no positive solutions, so test $a=3,4,5,6$ .

For $a=3$ , $(b-6)(c-6)=36$ , giving $(b,c)=(7,42),$ $(8,24),$ $(9,18),$ $(10,15),$ $(12,12)$ . For $a=4$ , $(b-4)(c-4)=16$ , giving $(5,20),(6,12),(8,8)$ .

For $a=5$ , $(3b-10)(3c-10)=100$ , and the only solution with $a\le b\le c$ is $(b,c)=(5,10)$ . For $a=6$ , $(b-3)(c-3)=9$ , and the only solution with $a\le b\le c$ is $(6,6)$ .

The total number of triples is $5+3+1+1=10$ .

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 10B 第 25 题

答案：B

难度评级：2010

解答：

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