2015 AMC 10B 第 25 题

Question

一个长方体尺寸为

a \times b \times c

，其中

a

、

b

、

c

是整数，且

1\leq a \leq b \leq c\text{。}

该长方体的体积和表面积在数值上相等。可能的有序三元组

(a,b,c)

有多少个？

A rectangular box measures

a \times b \times c,

where

a,

b,

and

c

are integers and

1\leq a \leq b \leq c.

The volume and the surface area of the box are numerically equal. How many ordered triples

(a,b,c)

are possible?

4

10

12

21

26

答案：B

知识点：丢番图方程西蒙最爱的因式分解技巧分类讨论

难度评级：2010

小提示：

从

abc=2(ab+ac+bc)

开始。

Start from

abc=2(ab+ac+bc)

大提示：

固定

a\le6

，再因式分解剩余方程。

Fix

a\le6

and factor the remaining equation

解答：

条件为

abc=2(ab+ac+bc)\text{。}

因为

abc\le6bc

，所以

a\le6

。此外，

a=1

和

a=2

都没有正整数解，因此只需检查

a=3,4,5,6

。

当

a=3

时，

(b-6)(c-6)=36

，得到

(b,c)=(7,42),

(8,24),

(9,18),

(10,15),

(12,12)

。当

a=4

时，

(b-4)(c-4)=16

，得到

(5,20),(6,12),(8,8)

。

当

a=5

时，

(3b-10)(3c-10)=100

，满足

a\le b\le c

的唯一解是

(b,c)=(5,10)

。当

a=6

时，

(b-3)(c-3)=9

，满足

a\le b\le c

的唯一解是

(6,6)

。

所以三元组总数为

5+3+1+1=10

。

所以正确答案是 B。

The condition is

abc=2(ab+ac+bc).

Since

abc\le6bc

, we have

a\le6

. Also

a=1

and

a=2

give no positive solutions, so test

a=3,4,5,6

.

For

a=3

,

(b-6)(c-6)=36

, giving

(b,c)=(7,42),

(8,24),

(9,18),

(10,15),

(12,12)

. For

a=4

,

(b-4)(c-4)=16

, giving

(5,20),(6,12),(8,8)

.

For

a=5

,

(3b-10)(3c-10)=100

, and the only solution with

a\le b\le c

is

(b,c)=(5,10)