Question

在下图中， $ABCDE$ 是正五边形，且 $AG=1$ 。求 $FG + JH + CD$ 的值。

In the figure shown below, $ABCDE$ is a regular pentagon and $AG=1.$ What is $FG + JH + CD?$

$3$

$12-4\sqrt{5}$

$\dfrac{5+2\sqrt{5}}{3}$

$1+\sqrt{5}$

$\dfrac{11+11\sqrt{5}}{10}$

答案：D

知识点：正多边形相似二次方程

难度评级：1880

解答：

由对称性， $AG=HC=HJ=1$ ，且三角形 $AFG$ 与三角形 $BGH$ 全等，所以 $FG=GH$ 。设 $FG=b$ 、 $CD=d$ 。

正五边形中的相似三角形给出和第一式为 $b^2+b-1=0$ ，所以 $b=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ 。于是 $d=1+b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 。 $\frac1b=1+b$ $\frac{1+b}{1}=d.$

因此 $\begin{aligned} FG+JH+CD &= b+1+d \\ &= 1+\sqrt{5}. \end{aligned}$

所以正确答案是 D。

By symmetry, $AG=HC=HJ=1$ , and triangles $AFG$ and $BGH$ are congruent, so $FG=GH$ . Let $FG=b$ , and let $CD=d$ .

The similar triangles in the pentagon give $\frac1b=1+b$ and $\frac{1+b}{1}=d.$ The first equation is $b^2+b-1=0$ , so $b=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ . Then $d=1+b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

Therefore $\begin{aligned} FG+JH+CD &= b+1+d \\ &= 1+\sqrt{5}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 10B 第 22 题

答案：D

难度评级：1880

解答：

其他年份的第 22 题