2015 AMC 10A 第 25 题

Question

设

S

是边长为

1

的正方形。独立随机地在

S

的边上选取两个点。两点间直线距离至少为

\dfrac{1}{2}

的概率为

\dfrac{a-b\pi}{c}

，其中

a

、

b

、

c

是正整数且

\gcd(a,b,c)=1

。求

a+b+c

的值。

Let

S

be a square of side length

1.

Two points are chosen independently at random on the sides of

S.

The probability that the straight-line distance between the points is at least

\dfrac{1}{2}

is

\dfrac{a-b\pi}{c},

where

a,

b,

and

c

are positive integers with

\gcd(a,b,c)=1.

What is

a+b+c?

59

60

61

62

63

答案：A

知识点：几何概率分类讨论

难度评级：2390

小提示：

按第二个点位于同一边、相邻边或对边来分类。

Condition on whether the second point is on the same, adjacent, or opposite side

大提示：

相邻边情形中，失败区域是半径

\frac{1}{2}

的四分之一圆。

The adjacent-side case removes a quarter circle of radius

\frac{1}{2}

解答：

先固定第一个点所在的边。第二个点在同一边、相邻边、对边上的概率分别为

\frac14

、

\frac12

、

\frac14

。

同一边上时，两个坐标

a,b\in[0,1]

的距离至少为

\frac12

，等价于

|a-b|\ge\frac12

。这个区域由两个直角三角形组成，总面积为

\frac14

。

相邻边上时，距离形如

\sqrt{a^2+b^2}

。失败区域是半径为

\frac12

的四分之一圆，所以成功概率为

1-\frac{\pi}{16}

。

对边上时，距离总是至少为

1

，所以成功概率为

1

。因此所求概率为

\begin{aligned} &\frac14\cdot\frac14 \\ &\quad {}+\frac12\left(1-\frac{\pi}{16}\right) \\ &\quad {}+\frac14=\frac{26-\pi}{32} \end{aligned}\text{。}

所以

a+b+c=26+1+32=59

。

所以正确答案是 A。

Fix one of the two points. The second point is on the same side with probability

\frac14

, on an adjacent side with probability

\frac12

, and on the opposite side with probability

\frac14

.

On the same side, two coordinates

a,b\in[0,1]

are at distance at least

\frac12

when

|a-b|\ge\frac12

. This region consists of two right triangles with total area

\frac14

.

On adjacent sides, the distance has the form

\sqrt{a^2+b^2}

. The failing region is a quarter circle of radius

\frac12

, so the success probability is

1-\frac{\pi}{16}

.

On opposite sides, the distance is always at least

1

, so the success probability is

1

. Therefore the desired probability is

\begin{aligned} &\frac14\cdot\frac14 \\ &\quad {}+\frac12\left(1-\frac{\pi}{16}\right) \\ &\quad {}+\frac14=\frac{26-\pi}{32}. \end{aligned}

Hence

a+b+c=26+1+32=59

.

Thus, A is the correct answer.

2015 AMC 10A 第 25 题

答案：A

难度评级：2390

小提示：

大提示：

解答：

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