Question

设 $S$ 是边长为 $1$ 的正方形。独立随机地在 $S$ 的边上选取两个点。两点间直线距离至少为 $\dfrac{1}{2}$ 的概率为 $\dfrac{a-b\pi}{c}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是正整数且 $\gcd(a,b,c)=1$ 。求 $a+b+c$ 的值。

Let $S$ be a square of side length $1.$ Two points are chosen independently at random on the sides of $S.$ The probability that the straight-line distance between the points is at least $\dfrac{1}{2}$ is $\dfrac{a-b\pi}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers with $\gcd(a,b,c)=1.$ What is $a+b+c?$

$59$

$60$

$61$

$62$

$63$

答案：A

知识点：几何概率分类讨论

难度评级：2390

解答：

先固定第一个点所在的边。第二个点在同一边、相邻边、对边上的概率分别为 $\frac14$ 、 $\frac12$ 、 $\frac14$ 。

同一边上时，两个坐标 $a,b\in[0,1]$ 的距离至少为 $\frac12$ ，等价于 $|a-b|\ge\frac12$ 。这个区域由两个直角三角形组成，总面积为 $\frac14$ 。

相邻边上时，距离形如 $\sqrt{a^2+b^2}$ 。失败区域是半径为 $\frac12$ 的四分之一圆，所以成功概率为 $1-\frac{\pi}{16}$ 。

对边上时，距离总是至少为 $1$ ，所以成功概率为 $1$ 。因此所求概率为所以 $a+b+c=26+1+32=59$ 。 $\begin{aligned} &\frac14\cdot\frac14 \\ &\quad {}+\frac12\left(1-\frac{\pi}{16}\right) \\ &\quad {}+\frac14=\frac{26-\pi}{32}. \end{aligned}$

所以正确答案是 A。

Fix one of the two points. The second point is on the same side with probability $\frac14$ , on an adjacent side with probability $\frac12$ , and on the opposite side with probability $\frac14$ .

On the same side, two coordinates $a,b\in[0,1]$ are at distance at least $\frac12$ when $|a-b|\ge\frac12$ . This region consists of two right triangles with total area $\frac14$ .

On adjacent sides, the distance has the form $\sqrt{a^2+b^2}$ . The failing region is a quarter circle of radius $\frac12$ , so the success probability is $1-\frac{\pi}{16}$ .

On opposite sides, the distance is always at least $1$ , so the success probability is $1$ . Therefore the desired probability is $\begin{aligned} &\frac14\cdot\frac14 \\ &\quad {}+\frac12\left(1-\frac{\pi}{16}\right) \\ &\quad {}+\frac14=\frac{26-\pi}{32}. \end{aligned}$ Hence $a+b+c=26+1+32=59$ .

Thus, A is the correct answer.

2015 AMC 10A 第 25 题

答案：A

难度评级：2390

解答：

其他年份的第 25 题