Question

梯形 $ABCD$ 的平行边 $\overline{AB}$ 长 $33$ ，线段 $\overline {CD}$ 长 $21$ 。另外两边长为 $10$ 和 $14$ 。角 $A$ 和角 $B$ 都是锐角。求梯形 $ABCD$ 的较短对角线长度。

Trapezoid $ABCD$ has parallel sides $\overline{AB}$ of length $33$ and $\overline {CD}$ of length $21 .$ The other two sides are of lengths $10$ and $14 .$ The angles $A$ and $B$ are acute. What is the length of the shorter diagonal of $ABCD ?$

$10\sqrt{6}$

$25$

$8\sqrt{10}$

$18\sqrt{2}$

$26$

答案：B

知识点：梯形勾股定理

难度评级：1790

解答：

从 $D$ 和 $C$ 向 $AB$ 作垂线，垂足分别为 $E$ 和 $F$ 。如图，不妨取 $AD=10$ 、 $BC=14$ ；交换两腰只会把梯形翻转。

设 $AE=x$ ，高为 $h$ 。由于 $EF=CD=21$ ，且 $AB=33$ ，所以 $FB=12-x$ 。

由两个直角三角形可得 $10^2=x^2+h^2$ 和 $14^2=(12-x)^2+h^2.$ 两式相减得 $96=144-24x$ ，所以 $x=2$ ，且 $h^2=96$ 。

较短的对角线是 $AC$ ，它的水平位移为 $AE+EF=2+21=23$ 。因此 $AC=\sqrt{23^2+96}=\sqrt{625}=25.$

所以正确答案是 B。

Let the feet of the perpendiculars from $D$ and $C$ to $AB$ be $E$ and $F$ , respectively. As drawn, take $AD=10$ and $BC=14$ ; interchanging the two legs only reflects the trapezoid.

Let $AE=x$ and let the altitude be $h$ . Since $EF=CD=21$ and $AB=33$ , we have $FB=12-x$ .

The two right triangles give $10^2=x^2+h^2$ and $14^2=(12-x)^2+h^2.$ Subtracting yields $96=144-24x$ , so $x=2$ and $h^2=96$ .

The shorter diagonal is $AC$ , whose horizontal displacement is $AE+EF=2+21=23$ . Therefore $AC=\sqrt{23^2+96}=\sqrt{625}=25.$

Thus, the correct answer is B .

2014 AMC 10B 第 21 题

答案：B

难度评级：1790

解答：

其他年份的第 21 题