Question

Danica 开着新车旅行了整数小时，平均速度为 $55$ 英里每小时。旅行开始时，里程表显示 $abc$ 英里，其中 $abc$ 是 $3$ 位数， $a\ge1$ ，且 $a+b+c\le7$ 。旅行结束时，里程表显示 $cba$ 英里。求 $a^2+b^2+c^2$ 的值。

Danica drove her new car on a trip for a whole number of hours, averaging $55$ miles per hour. At the beginning of the trip, $abc$ miles was displayed on the odometer, where $abc$ is a $3$ -digit number with $a\ge1$ and $a+b+c\le7.$ At the end of the trip, the odometer showed $cba$ miles. What is $a^2+b^2+c^2?$

$26$

$27$

$36$

$37$

$41$

答案：D

知识点：数字整除性

难度评级：1540

解答：

里程表读数 $cba$ 与 $abc$ 之差为，而这个差必须是 $55$ 的倍数。因为 $\gcd(55,99)$ 为 $11$ ，所以 $c-a$ 是 $5$ 的倍数，且 $c > a$ 。 $100c + 10b+a - 100a - 10b-c$ $= 99(c-a)$

在 $a+ b+c \leq 7$ 的限制下，唯一可能是 $a = 1, b = 0, c = 6$ ，其他组合都会有 $a+b+c > 7$ 。因此 $a^2+b^2+c^2 = 37$ 。

所以正确答案是 D。

We know that the difference of the numbers $cba$ and $abc$ is equal to: $100c + 10b+a - 100a - 10b-c$ $= 99(c-a)$ We know that this number also must be a multiple of $55.$ As $\gcd(55,99)$ is $11,$ we know that $c-a$ is a multiple of $5,$ and $c > a.$

This makes $a = 1, b = 0, c = 6$ the only possible value with $a+ b+c \leq 7$ as every other combination has $a+b+c > 7.$ As such, $a^2+b^2+c^2 = 37.$

Thus, the correct answer is D .

2014 AMC 10B 第 14 题

答案：D

难度评级：1540

解答：

其他年份的第 14 题