Question

数 $5^{867}$ 介于 $2^{2013}$ 和 $2^{2014}$ 之间。有多少对整数 $(m,n)$ 满足 $1\leq m\leq 2012$ 且？ $5^n < 2^m < 2^{m+2} < 5^{n+1}?$

The number $5^{867}$ is between $2^{2013}$ and $2^{2014}.$ How many pairs of integers $(m,n)$ are there such that $1\leq m\leq 2012$ and $5^n < 2^m < 2^{m+2} < 5^{n+1}?$

$278$

$279$

$280$

$281$

$282$

答案：B

知识点：指数区间内整数计数方程组

难度评级：2300

解答：

因为 $2^2<5<2^3$ ，每个区间 $(5^n,5^{n+1})$ 中包含两个或三个 $2$ 的幂。题目的不等式恰好对应含有三个这样的幂的区间。

对 $0\le n<867$ ，设含两个 $2$ 的幂的区间有 $d$ 个，含三个 $2$ 的幂的区间有 $t$ 个，则 $d+t=867$ 。

由 $2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$ 可知，这些区间一共包含 $2013$ 个 $2$ 的幂，所以 $2d+3t=2013$ 。

解这个方程组得到 $t=279$ 。

所以正确答案是 B。

Since $2^2<5<2^3$ , each interval $(5^n,5^{n+1})$ contains either two or three powers of $2$ . The desired inequality holds exactly for intervals containing three such powers.

For $0\le n<867$ , let $d$ be the number of intervals with two powers of $2$ , and let $t$ be the number with three powers of $2$ . Then $d+t=867$ .

Because $2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$ , these intervals contain $2013$ powers of $2$ altogether, so $2d+3t=2013$ .

Solving the system gives $t=279$ .

Thus, B is the correct answer.

2014 AMC 10A 第 25 题

答案：B

难度评级：2300

解答：

其他年份的第 25 题