2014 AMC 10A 第 25 题

Question

数

5^{867}

介于

2^{2013}

和

2^{2014}

之间。有多少对整数

(m,n)

满足

1\leq m\leq 2012

且

5^n < 2^m < 2^{m+2} < 5^{n+1}\text{？}

The number

5^{867}

is between

2^{2013}

and

2^{2014}.

How many pairs of integers

(m,n)

are there such that

1\leq m\leq 2012

and

5^n < 2^m < 2^{m+2} < 5^{n+1}?

278

279

280

281

282

答案：B

知识点：指数区间内整数计数方程组

难度评级：2300

小提示：

相邻两个

5

的幂之间包含两个或三个

2

的幂。

Each interval between consecutive powers of

5

contains two or three powers of

2

大提示：

使用

5^{867}

之前一共有多少个

2

的幂。

Use the total number of powers of

2

before

5^{867}

解答：

因为

2^2<5<2^3

，每个区间

(5^n,5^{n+1})

中包含两个或三个

2

的幂。题目的不等式恰好对应含有三个这样的幂的区间。

对

0\le n<867

，设含两个

2

的幂的区间有

d

个，含三个

2

的幂的区间有

t

个，则

d+t=867

。

由

2^{2013}<5^{867}<2^{2014}

可知，这些区间一共包含

2013

个

2

的幂，所以

2d+3t=2013

。

解这个方程组得到

t=279

。

所以正确答案是 B。

Since

2^2<5<2^3

, each interval

(5^n,5^{n+1})

contains either two or three powers of

2

. The desired inequality holds exactly for intervals containing three such powers.

For

0\le n<867

, let

d

be the number of intervals with two powers of

2

, and let

t

be the number with three powers of

2

. Then

d+t=867

.

Because

2^{2013}<5^{867}<2^{2014}

, these intervals contain

2013

powers of

2

altogether, so

2d+3t=2013

.

Solving the system gives

t=279

.

Thus, B is the correct answer.

2014 AMC 10A 第 25 题

答案：B

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题