2014 AMC 10A 第 22 题

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22.

在长方形

ABCD

中，

\overline{AB}=20

，

\overline{BC}=10

。点

E

在

\overline{CD}

上，且

\angle CBE=15^\circ

。求

\overline{AE}

的长度。

In rectangle

ABCD,

\overline{AB}=20

and

\overline{BC}=10.

Let

E

be a point on

\overline{CD}

such that

\angle CBE=15^\circ.

What is

\overline{AE}?

\dfrac{20\sqrt3}3

10\sqrt3

18

11\sqrt3

20

答案：E

知识点：特殊直角三角形等腰三角形导角

难度评级：1950

小提示：

构造一个点，使其形成

30

-

60

-

90

三角形。

Construct a helpful point making a

30

-

60

-

90

triangle

大提示：

证明这个构造点就是

E

。

Show the constructed point is the same as

E

解答：

在

\overline{CD}

上取点

E'

，使

AE'=AB=20

。

因为

AD=10

，三角形

ADE'

是

30

-

60

-

90

三角形，所以

\angle DAE'=60^\circ

，从而

\angle BAE'=30^\circ

。

又

AE'=AB

，所以三角形

ABE'

是等腰三角形，顶点在

A

，顶角为

30^\circ

，两个底角为

75^\circ

。

于是

\angle CBE'=90^\circ-75^\circ=15^\circ

，因此

E'=E

，所以

AE=20

。

所以正确答案是 E。

Let

E'

be the point on

\overline{CD}

such that

AE'=AB=20

.

Since

AD=10

, triangle

ADE'

is a

30

-

60

-

90

triangle, so

\angle DAE'=60^\circ

and

\angle BAE'=30^\circ

.

Also

AE'=AB

, so triangle

ABE'

is isosceles. Its vertex angle at

A

is

30^\circ

, so each base angle is

75^\circ

.

Therefore

\angle CBE'=90^\circ-75^\circ=15^\circ

, so

E'=E

, and

AE=20

.

Thus, E is the correct answer.