2012 AMC 10A 第 25 题

Question

实数

x

、

y

和

z

独立且均匀地从区间

[0,n]

中随机选取，其中

n

是某个正整数。

x

、

y

和

z

中任意两个数的距离都不小于

1

的概率超过

\dfrac{1}{2}

。满足条件的最小

n

是多少？

Real numbers

x,

y,

and

z

are chosen independently and at random from the interval

[0,n]

for some positive integer

n.

The probability that no two of

x,

y,

and

z

are within

1

unit of each other is greater than

\dfrac{1}{2}.

What is the smallest possible value of

n?

7

8

9

10

11

答案：D

知识点：几何概率体积对称性

难度评级：2460

小提示：

先把三个随机数排序。

Order the three random numbers first

大提示：

从中间的数减去

1

，从最大的数减去

2

。

Subtract

1

from the middle number and

2

from the largest number

解答：

这个问题可以看作几何概率问题，把区间看成坐标轴上的范围。

不妨先考虑

n \geq x \geq y \geq z \geq 0\text{。}

满足这个顺序限制的点

(x, y, z)

构成一个四面体。

这个四面体的高为

n

，底面积为

\dfrac{n^2}{2}

，所以体积为

\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{n^2}{2} \cdot n = \dfrac{n^3}{6}\text{。}

现在加入题目中的限制。需要找出满足下面条件的区域：

|x - y|, |x - z|, |y - z| \geq 1\text{。}

根据已经规定的顺序，这些不等式可化为

x - y \geq 1 \text{ 和 } y - z \geq 1\text{。}

这两个限制形成如下图所示的另一个四面体。

注意，在新的四面体中，所有线性尺寸都减少了

2

。因此高为

n - 2

，底面积为

\dfrac{(n - 2)^2}{2}

。

因此体积为

\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{(n - 2)^2}{2} \cdot (n - 2)

= \dfrac{(n - 2)^3}{6}\text{。}

所求概率为

\dfrac{(n - 2)^3}{6} \div \dfrac{n^3}{6} = \dfrac{(n - 2)^3}{n^3}\text{。}

逐一检查选项可知，使这个比例大于

\dfrac{1}{2}

的最小值是

10

。

所以正确答案是 D。

This problem lends itself to geometric probability since we can view the interval as a range on an axis.

WLOG, let

n \geq x \geq y \geq z \geq 0.

Then we have that the points

(x, y, z)

which satisfy this restriction form a tetrahedron.

The height of this tetrahedron is

n,

and the base has an area of

\dfrac{n^2}{2}.

This makes the volume

\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{n^2}{2} \cdot n = \dfrac{n^3}{6}.

Now we have to apply the restrictions from the problem statement. We need to find the region where

|x - y|, |x - z|, |y - z| \geq 1.

From our ordering condition that we imposed, these inequalities reduce to

x - y \geq 1 \text{ and } y - z \geq 1.

These two restrictions form another tetrahedron as shown below.

Note that in the new tetrahedron, all the dimensions have been reduced by

2.

This makes the height

n - 2

and the base

\dfrac{(n - 2)^2}{2}.

The volume is then

\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{(n - 2)^2}{2} \cdot (n - 2)

= \dfrac{(n - 2)^3}{6}.

The desired probability is then

\dfrac{(n - 2)^3}{6} \div \dfrac{n^3}{6} = \dfrac{(n - 2)^3}{n^3}.

Plugging in all the answer choices, we get that the smallest value such that this fraction is greater than

\dfrac{1}{2}

is

10.

Thus, D is the correct answer.

2012 AMC 10A 第 25 题

答案：D

难度评级：2460

小提示：

大提示：

解答：

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