Question

Jim 从一个正整数 $n$ 开始构造一个数列。每个后续数都由当前数减去不超过当前数的最大整数平方得到，直到达到零为止。例如，如果 Jim 从 $n = 55$ 开始，则他的数列包含 $5$ 个数：设 $N$ 为使 Jim 的数列有 $8$ 个数的最小数。 $N$ 的个位数字是多少？ $\begin{array}{ccccc} {}&{}&{}&{}&55\\ 55&-&7^2&=&6\\ 6&-&2^2&=&2\\ 2&-&1^2&=&1\\ 1&-&1^2&=&0\\ \end{array}$

Jim starts with a positive integer $n$ and creates a sequence of numbers. Each successive number is obtained by subtracting the largest possible integer square less than or equal to the current number until zero is reached. For example, if Jim starts with $n = 55,$ then his sequence contains $5$ numbers: $\begin{array}{ccccc} {}&{}&{}&{}&55\\ 55&-&7^2&=&6\\ 6&-&2^2&=&2\\ 2&-&1^2&=&1\\ 1&-&1^2&=&0\\ \end{array}$ Let $N$ be the smallest number for which Jim’s sequence has $8$ numbers. What is the units digit of $N?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

答案：B

知识点：完全平方数递推逆推法

难度评级：2440

解答：

从 $0$ 开始反向工作。加上 $1^2$ 得到 $1$ 。

再次加上 $1^2$ 得到 $2$ ，再加 $1^2$ 得到 $3$ 。

若此时再加 $1^2$ ，会得到 $4$ ，但对于 $4$ ， $1^2$ 不是不超过它的最大平方。

因此下一步加 $2^2$ 得到 $7$ 。重复这个过程步，得到 $7223$ 。

$\begin{array}{ccccc} {}&{}&{}&{}&7223\\ 7223&-&84^2&=&167\\ 167&-&12^2&=&23\\ 23&-&4^2&=&7\\ 7&-&2^2&=&3\\ 3&-&1^2&=&2\\2&-&1^2&=&1\\1&-&1^2&=&0\end{array}$

所以正确答案是 B。

We can work backwards starting with $0.$ From this, we can add on $1^2$ to get $1.$

We can again add on $1^2$ to get $2.$ Again, adding on $1^2$ gives us $3.$

If we add on $1^2$ now, we get $4,$ but then $1^2$ is not the greatest square less than or equal to $4.$

Then adding on $2^2$ gives us $7.$ Continuing until there are eight terms in the forward sequence gives $7223.$

$\begin{array}{ccccc} {}&{}&{}&{}&7223\\ 7223&-&84^2&=&167\\ 167&-&12^2&=&23\\ 23&-&4^2&=&7\\ 7&-&2^2&=&3\\ 3&-&1^2&=&2\\2&-&1^2&=&1\\1&-&1^2&=&0\end{array}$

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 10A 第 25 题

答案：B

难度评级：2440

解答：

其他年份的第 25 题