Question

正整数 $a$ 、 $b$ 和 $2009$ 满足 $a \lt b \lt 2009$ ，并且按这个顺序组成一个公比为整数的等比数列。求 $a$ 的值。

Positive integers $a,$ $b,$ and $2009,$ with $a \lt b \lt 2009,$ form a geometric sequence with an integer ratio. What is $a?$

$7$

$41$

$49$

$287$

$2009$

设公比为 $r$ 。则 $a r^2 = 2009 = 7^2 \cdot 41$ 。

因为 $r$ 必须是大于 $1$ 的整数，唯一可能是 $r = 7$ ，从而 $a = 41$ ，数列为 $41, 287, 2009$ 。

所以正确答案是 B。

Let the common ratio be $r.$ Then $a r^2 = 2009 = 7^2 \cdot 41.$

Since $r$ must be an integer greater than $1,$ the only possibility is $r = 7,$ giving $a = 41$ and the sequence $41, 287, 2009.$

Thus, the correct answer is B.