Question

直角三角形 $\triangle ABC$ 中， $AB=3$ 、 $BC=4$ 、 $AC=5$ 。正方形 $XYZW$ 内接于 $\triangle ABC$ ，其中 $X$ 和 $Y$ 在 $\overline{AC}$ 上， $W$ 在 $\overline{AB}$ 上， $Z$ 在 $\overline{BC}$ 上。正方形的边长是多少？

Right $\triangle ABC$ has $AB=3,$ $BC=4,$ and $AC=5.$ Square $XYZW$ is inscribed in $\triangle ABC$ with $X$ and $Y$ on $\overline{AC},$ $W$ on $\overline{AB},$ and $Z$ on $\overline{BC}.$ What is the side length of the square?

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{60}{37}$

$\dfrac{12}{7}$

$\dfrac{23}{13}$

$2$

答案：B

知识点：相似直角三角形高线

难度评级：1720

解答：

设正方形边长为 $s$ ，从 $B$ 到 $AC$ 的高为 $h$ 。则 $h=\dfrac{AB\cdot BC}{AC}=\dfrac{3\cdot 4}{5}=\dfrac{12}{5}$ 。

正方形上方的小三角形与 $\triangle ABC$ 相似，并以正方形上边为底，因此 $\dfrac{h-s}{h}=\dfrac{s}{AC}$ ，所以 $s=\dfrac{AC\cdot h}{AC+h}$ 。

代入可得 $s=\dfrac{5\cdot\frac{12}{5}}{5+\frac{12}{5}}=\dfrac{12}{37/5}=\dfrac{60}{37}$ 。

所以正确答案是 B。

Let $s$ be the side of the square and $h$ the altitude from $B$ to $AC.$ Then $h=\dfrac{AB\cdot BC}{AC}=\dfrac{3\cdot 4}{5}=\dfrac{12}{5}.$

The small triangle above the square is similar to $\triangle ABC$ with the square's top side as its base, giving $\dfrac{h-s}{h}=\dfrac{s}{AC},$ so $s=\dfrac{AC\cdot h}{AC+h}.$

Substituting, $s=\dfrac{5\cdot\frac{12}{5}}{5+\frac{12}{5}}=\dfrac{12}{37/5}=\dfrac{60}{37}.$

Thus, the correct answer is B.

2007 AMC 10B 第 21 题

答案：B

难度评级：1720

解答：

其他年份的第 21 题