2007 AMC 10A 第 9 题

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9.

实数

a

和

b

满足

3^a = 81^{b+2}

和

125^b = 5^{a-3}

。求

ab

？

Real numbers

a

and

b

satisfy the equations

3^a = 81^{b+2}

and

125^b = 5^{a-3}.

What is

ab?

-60

-17

9

12

60

答案：E

知识点：指数方程组

难度评级：1240

小提示：

将

81 = 3^4

、

125 = 5^3

改写为相同底数。

Rewrite

81 = 3^4

and

125 = 5^3

to match the bases

大提示：

比较指数，得到

a = 4(b + 2)

和

3b = a - 3

。

Equating exponents gives

a = 4(b + 2)

and

3b = a - 3

解答：

两个方程变为

3^a = 3^{4(b+2)}

和

5^{3b} = 5^{a-3}

。

所以

a = 4(b + 2)

，且

3b = a - 3

。

解得

a = -12

、

b = -5

，因此

ab = 60

。

所以正确答案是 E。

The equations become

3^a = 3^{4(b+2)}

and

5^{3b} = 5^{a-3}.

So

a = 4(b + 2)

and

3b = a - 3.

Solving gives

a = -12

and

b = -5,

so

ab = 60.

Thus, the correct answer is E.