2007 AMC 10A 第 9 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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实数 $a$ 和 $b$ 满足 $3^a = 81^{b+2}$ 和 $125^b = 5^{a-3}$ 。求 $ab$ ？

Real numbers $a$ and $b$ satisfy the equations $3^a = 81^{b+2}$ and $125^b = 5^{a-3}.$ What is $ab?$

$-60$

$-17$

$9$

$12$

$60$

两个方程变为 $3^a = 3^{4(b+2)}$ 和 $5^{3b} = 5^{a-3}$ 。

所以 $a = 4(b + 2)$ ，且 $3b = a - 3$ 。

解得 $a = -12$ 、 $b = -5$ ，因此 $ab = 60$ 。

所以正确答案是 E。

The equations become $3^a = 3^{4(b+2)}$ and $5^{3b} = 5^{a-3}.$

So $a = 4(b + 2)$ and $3b = a - 3.$

Solving gives $a = -12$ and $b = -5,$ so $ab = 60.$

Thus, the correct answer is E.