2007 AMC 10A 第 14 题

Question

一个边长比为

3 : 4 : 5

的三角形内接于半径为

3

的圆。这个三角形的面积是多少？

A triangle with side lengths in the ratio

3 : 4 : 5

is inscribed in a circle of radius

3.

What is the area of the triangle?

8.64

12

5\pi

17.28

18

边长比为

3 : 4 : 5

的三角形是直角三角形，所以最长边是圆的直径。

A

3 : 4 : 5

triangle is right-angled, so its longest side is a diameter

若三边为

3x, 4x, 5x

，则斜边

5x

等于直径

6

。

With sides

3x, 4x, 5x,

the hypotenuse

5x

equals the diameter

6

设三边为

3x, 4x, 5x

。

这个三角形是直角三角形，所以斜边为圆的直径。因此

5x = 2 \cdot 3 = 6

，得到

x = \tfrac65

。

面积为

\begin{aligned} \tfrac12 (3x)(4x) &= 6x^2 = 6 \cdot \tfrac{36}{25} \\ &= 8.64 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 A。

Let the sides be

3x, 4x, 5x.

The triangle is right-angled, so its hypotenuse is a diameter.

Thus

5x = 2 \cdot 3 = 6,

giving

x = \tfrac65.

The area is

\begin{aligned} \tfrac12 (3x)(4x) &= 6x^2 = 6 \cdot \tfrac{36}{25} \\ &= 8.64. \end{aligned}

Thus, the correct answer is A.

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