Question

集合 $B$ 是从 $1$ 到 $100$ 的所有整数的一个子集，并且 $B$ 中任意两个元素之和都不等于 $125$ 。 $B$ 最多可能有多少个元素？

A subset $B$ of the set of integers from $1$ to $100,$ inclusive, has the property that no two elements of $B$ sum to $125.$ What is the maximum possible number of elements in $B?$

$50$

$51$

$62$

$65$

$68$

答案：C

知识点：子集配对与分组极端原理

难度评级：1720

解答：

和为 $125$ 的配对为 $(25, 100), (26, 99), \ldots, (62, 63)$ ，共有 $62 - 25 + 1 = 38$ 对。每一对中， $B$ 至多包含一个元素。

数字 $1$ 到 $24$ 无法与范围内任何数字配成 $125$ ，所以这 $24$ 个数字都可以加入。

因此 $B$ 至多有 $38 + 24 = 62$ 个元素，而集合 $\{1, 2, \ldots, 62\}$ 可以达到这个数量。

所以正确答案是 C。

The pairs summing to $125$ are $(25, 100), (26, 99), \ldots, (62, 63),$ which is $62 - 25 + 1 = 38$ pairs. From each pair, $B$ may contain at most one element.

The numbers $1$ through $24$ cannot pair with anything in range to sum to $125,$ so all $24$ of them may be included.

Thus $B$ has at most $38 + 24 = 62$ elements, and the set $\{1, 2, \ldots, 62\}$ achieves this.

Thus, C is the correct answer.

2005 AMC 10B 第 25 题

答案：C

难度评级：1720

解答：

其他年份的第 25 题