Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB = 25$ ， $BC = 39$ ， $AC = 42$ 。点 $D$ 和 $E$ 分别在 $AB$ 和 $AC$ 上，且 $AD = 19$ 、 $AE = 14$ 。求三角形 $ADE$ 的面积与四边形 $BCED$ 的面积之比。

In $\triangle ABC$ we have $AB = 25,$ $BC = 39,$ and $AC = 42.$ Points $D$ and $E$ are on $AB$ and $AC$ respectively, with $AD = 19$ and $AE = 14.$ What is the ratio of the area of triangle $ADE$ to the area of the quadrilateral $BCED?$

$\dfrac{266}{1521}$

$\dfrac{19}{75}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{19}{56}$

$1$

答案：D

知识点：面积比三角形面积

难度评级：1760

解答：

三角形 $ADE$ 和 $ABC$ 共用角 $A$ ，所以又因为 $[BCED] = [ABC] - [ADE]$ ，所以 $\dfrac{[ADE]}{[BCED]} = \dfrac{19}{75 - 19} = \dfrac{19}{56}$ 。 $\begin{aligned} \dfrac{[ADE]}{[ABC]} &= \dfrac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC} \\ &= \dfrac{19 \cdot 14}{25 \cdot 42} \\ &= \dfrac{266}{1050} \\ &= \dfrac{19}{75}. \end{aligned}$

所以正确答案是 D。

Triangles $ADE$ and $ABC$ share angle $A,$ so $\begin{aligned} \dfrac{[ADE]}{[ABC]} &= \dfrac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC} \\ &= \dfrac{19 \cdot 14}{25 \cdot 42} \\ &= \dfrac{266}{1050} \\ &= \dfrac{19}{75}. \end{aligned}$ Since $[BCED] = [ABC] - [ADE],$ we get $\dfrac{[ADE]}{[BCED]} = \dfrac{19}{75 - 19} = \dfrac{19}{56}.$

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 10A 第 25 题

答案：D

难度评级：1760

解答：

其他年份的第 25 题