2004 AMC 10A 第 25 题

Question

三个两两相切、半径为

1

的球放在水平平面上。一个半径为

2

的球放在它们上面。从平面到较大球顶部的距离是多少？

Three mutually tangent spheres of radius

1

rest on a horizontal plane. A sphere of radius

2

rests on them. What is the distance from the plane to the top of the larger sphere?

3 + \dfrac{\sqrt{30}}{2}

3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}

3 + \dfrac{\sqrt{123}}{4}

\dfrac{52}{9}

3 + 2\sqrt{2}

答案：B

知识点：立体几何球重心勾股定理

难度评级：2180

小提示：

三个小球的球心形成边长为

2

的等边三角形，且高度为

1

。

The three small centers form an equilateral triangle of side

2

at height

1

大提示：

大球球心位于该三角形重心正上方；重心到每个小球球心的水平距离为

\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

，两球心距离为

1 + 2 = 3

。

The big center sits above the triangle’s centroid; the centroid is

\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

from each small center, and the slant distance between centers is

1 + 2 = 3

解答：

三个小球球心形成边长为

2

的等边三角形，每个球心距平面

1

。设其重心为

D

，则它到每个顶点的距离为

\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

。

大球球心

E

位于

D

正上方，且

E

到每个小球球心的距离为

1 + 2 = 3

，所以

\begin{aligned} DE &= \sqrt{3^2 - \left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2} \\ &= \sqrt{9 - \dfrac{4}{3}} = \dfrac{\sqrt{69}}{3} \end{aligned}\text{。}

再加上平面到

D

的

1

个单位，以及从

E

到大球顶部的

2

个单位，得到

1 + \dfrac{\sqrt{69}}{3} + 2 = 3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}\text{。}

所以正确答案是 B。

The three small centers form an equilateral triangle of side

2,

each

1

unit above the plane. Its centroid

D

is at distance

\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

from each vertex.

The large sphere’s center

E

sits directly above

D,

and the distance between

E

and a small center is

1 + 2 = 3.

Thus

\begin{aligned} DE &= \sqrt{3^2 - \left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2} \\ &= \sqrt{9 - \dfrac{4}{3}} = \dfrac{\sqrt{69}}{3}. \end{aligned}

Adding the

1

unit from the plane to

D

and the

2

units from

E

to the top of the large sphere gives

1 + \dfrac{\sqrt{69}}{3} + 2 = 3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}.

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 10A 第 25 题

答案：B

难度评级：2180

小提示：

大提示：

解答：

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