2004 AMC 10A 第 22 题

Question

正方形

ABCD

的边长为

2

。在正方形内部以

\overline{AB}

为直径作一个半圆，从

C

向该半圆作切线，切线与边

\overline{AD}

交于

E

。求

\overline{CE}

的长度。

Square

ABCD

has side length

2.

A semicircle with diameter

\overline{AB}

is constructed inside the square, and the tangent to the semicircle from

C

intersects side

\overline{AD}

at

E.

What is the length of

\overline{CE}?

\dfrac{2 + \sqrt{5}}{2}

\sqrt{5}

\sqrt{6}

\dfrac{5}{2}

5 - \sqrt{5}

答案：D

知识点：切线勾股定理

难度评级：1790

小提示：

从同一点作圆的两条切线长度相等：

CF = CB

，

EF = EA

。

Tangents from a point have equal length:

CF = CB

and

EF = EA

大提示：

设

AE = x

，对

\triangle CDE

使用勾股定理：

(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2

。

With

AE = x,

apply the Pythagorean theorem to

\triangle CDE:

(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2

解答：

设

F

是

CE

与半圆的切点，令

x = AE

。从同一点作圆的切线长度相等，所以

CF = CB = 2

，且

EF = EA = x

，于是

CE = 2 + x

。

在直角三角形

CDE

中，

DE = 2 - x

、

DC = 2

，所以

(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2\text{。}

解得

x = \dfrac{1}{2}

，于是

CE = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}

。

所以正确答案是 D。

Let

F

be the point where

CE

touches the semicircle and let

x = AE.

Since tangents from a point are equal,

CF = CB = 2

and

EF = EA = x,

so

CE = 2 + x.

In right triangle

CDE,

we have

DE = 2 - x

and

DC = 2,

so

(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2.

This gives

x = \dfrac{1}{2},

hence

CE = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}.

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 10A 第 22 题

答案：D

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

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