Question

正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$ 。在正方形内部以 $\overline{AB}$ 为直径作一个半圆，从 $C$ 向该半圆作切线，切线与边 $\overline{AD}$ 交于 $E$ 。求 $\overline{CE}$ 的长度。

Square $ABCD$ has side length $2.$ A semicircle with diameter $\overline{AB}$ is constructed inside the square, and the tangent to the semicircle from $C$ intersects side $\overline{AD}$ at $E.$ What is the length of $\overline{CE}?$

$\dfrac{2 + \sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{6}$

$\dfrac{5}{2}$

$5 - \sqrt{5}$

答案：D

知识点：切线勾股定理

难度评级：1790

解答：

设 $F$ 是 $CE$ 与半圆的切点，令 $x = AE$ 。从同一点作圆的切线长度相等，所以 $CF = CB = 2$ ，且 $EF = EA = x$ ，于是 $CE = 2 + x$ 。

在直角三角形 $CDE$ 中， $DE = 2 - x$ 、 $DC = 2$ ，所以解得 $x = \dfrac{1}{2}$ ，于是 $CE = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$ 。 $(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2.$

所以正确答案是 D。

Let $F$ be the point where $CE$ touches the semicircle and let $x = AE.$ Since tangents from a point are equal, $CF = CB = 2$ and $EF = EA = x,$ so $CE = 2 + x.$

In right triangle $CDE,$ we have $DE = 2 - x$ and $DC = 2,$ so $(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2.$ This gives $x = \dfrac{1}{2},$ hence $CE = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 10A 第 22 题

答案：D

难度评级：1790

解答：

其他年份的第 22 题