2004 AMC 10A 第 18 题

Question

三个实数组成一个等差数列，第一项为

9

。若第二项加

2

，第三项加

20

，所得三个数形成等比数列。该等比数列第三项的最小可能值是多少？

A sequence of three real numbers forms an arithmetic progression with a first term of

9.

If

2

is added to the second term and

20

is added to the third term, the three resulting numbers form a geometric progression. What is the smallest possible value for the third term of the geometric progression?

1

4

36

49

81

答案：A

知识点：等差数列等比数列二次方程

难度评级：1630

小提示：

将等差数列写成

9

、

9 + d

、

9 + 2d

，则等比数列为

9

、

11 + d

、

29 + 2d

。

Write the progression as

9,

9 + d,

9 + 2d,

so the geometric one is

9,

11 + d,

29 + 2d

大提示：

使用

(11 + d)^2 = 9(29 + 2d)

，并选择使第三项较小的

d

。

Use

(11 + d)^2 = 9(29 + 2d)

and take the value of

d

giving the smaller third term

解答：

等差数列为

9

、

9 + d

、

9 + 2d

，所以新的三个数为

9

、

11 + d

、

29 + 2d

。

等比条件给出

(11 + d)^2 = 9(29 + 2d)\text{，}

化简得

d^2 + 4d - 140 = 0

，所以

d = 10

或

d = -14

。

第三项

29 + 2d

分别为

49

和

1

。最小是

1

。

所以正确答案是 A。

The arithmetic progression is

9,

9 + d,

9 + 2d,

so the geometric progression is

9,

11 + d,

29 + 2d.

The geometric condition gives

(11 + d)^2 = 9(29 + 2d),

which simplifies to

d^2 + 4d - 140 = 0,

so

d = 10

or

d = -14.

The third terms

29 + 2d

are

49

and

1.

The smallest is

1.

Thus, the correct answer is A.

2004 AMC 10A 第 18 题

答案：A

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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