2003 AMC 10B 第 14 题

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14.

已知

3^8 \cdot 5^2 = a^b

，其中

a

和

b

都是正整数。求

a+b

的最小可能值。

Given that

3^8 \cdot 5^2 = a^b,

where both

a

and

b

are positive integers, find the smallest possible value for

a+b.

25

34

351

407

900

答案：D

知识点：质因数分解完全幂最优化

难度评级：1390

小提示：

因为这个数被

5^2

整除但不被

5^3

整除，所以

b

最大只能是

2

。

Since

5^2

but not

5^3

divides the number,

b

can be at most

2

大提示：

b

越大，

a

越小；试

b=2

，把这个数写成完全平方。

The larger

b

is, the smaller

a

becomes; try

b=2

and write the number as a perfect square

解答：

因为

a

必须含因子

5

，而

3^8 \cdot 5^2

被

5^2

整除但不被

5^3

整除，所以

b\le 2

。

取

b=2

，得

a=\sqrt{3^8 \cdot 5^2}=3^4 \cdot 5=405

，因此

a+b=407

。若

b=1

，则

a+b=164{,}026

，更大。

所以正确答案是 D。

Because

a

must be divisible by

5,

and

3^8 \cdot 5^2

is divisible by

5^2

but not

5^3,

we need

b\le 2.

Taking

b=2

gives

a=\sqrt{3^8 \cdot 5^2}=3^4 \cdot 5=405,

so

a+b=407.

This beats

b=1,

which gives

a+b=164{,}026.

Thus, the correct answer is D.