Question

已知 $3^8 \cdot 5^2 = a^b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 都是正整数。求 $a+b$ 的最小可能值。

Given that $3^8 \cdot 5^2 = a^b,$ where both $a$ and $b$ are positive integers, find the smallest possible value for $a+b.$

$25$

$34$

$351$

$407$

$900$

因为 $a$ 必须含因子 $5$ ，而 $3^8 \cdot 5^2$ 被 $5^2$ 整除但不被 $5^3$ 整除，所以 $b\le 2$ 。

取 $b=2$ ，得 $a=\sqrt{3^8 \cdot 5^2}=3^4 \cdot 5=405$ ，因此 $a+b=407$ 。若 $b=1$ ，则 $a+b=164{,}026$ ，更大。

所以正确答案是 D。

Because $a$ must be divisible by $5,$ and $3^8 \cdot 5^2$ is divisible by $5^2$ but not $5^3,$ we need $b\le 2.$

Taking $b=2$ gives $a=\sqrt{3^8 \cdot 5^2}=3^4 \cdot 5=405,$ so $a+b=407.$ This beats $b=1,$ which gives $a+b=164{,}026.$

Thus, the correct answer is D.