2003 AMC 10A 第 9 题

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9.

化简

\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}\text{。}

Simplify

\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}.

\sqrt{x}

\sqrt[3]{x^2}

\sqrt[27]{x^2}

\sqrt[54]{x}

\sqrt[81]{x^{80}}

答案：A

知识点：根式指数

难度评级：1350

小提示：

从内向外，用分数指数重写每个根式。

Rewrite each radical using fractional exponents, working from the inside out

大提示：

最内层是

x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}}

，每次开立方都会把指数除以

3

。

The innermost

x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}},

and each cube root divides the exponent by

3

解答：

从内向外计算，

x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}}

，它的立方根为

x^{\frac{1}{2}}

。

接着

x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}

，它的立方根仍为

x^{\frac{1}{2}}

。

于是下一层又是

x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}

，开立方后仍为

x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}

。

所以正确答案是 A。

Working outward,

x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}},

and its cube root is

x^{\frac{1}{2}}.

Then

x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}},

whose cube root is again

x^{\frac{1}{2}}.

Repeating once more,

x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}},

whose cube root is

x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}.

Thus, the correct answer is A.