2002 AMC 10B 第 25 题

Question

向一个整数列表中加入

15

后，平均数增加了

2

。再向新列表中加入

1

后，平均数减少了

1

。原列表中有多少个整数？

When

15

is appended to a list of integers, the mean is increased by

2.

When

1

is appended to the enlarged list, the mean of the enlarged list is decreased by

1.

How many integers were in the original list?

4

5

6

7

8

答案：A

知识点：平均数方程组

难度评级：1690

小提示：

设原列表有

n

个整数，平均数为

m

，所以和为

mn

。

Let the list have

n

integers with mean

m,

so the sum is

mn

大提示：

将两次加入数字后的新和与新平均数分别写成方程。

Translate each appending into an equation for the new sum and mean

解答：

设原列表有

n

个整数，平均数为

m

，则总和为

mn

。加入

15

后，

\begin{aligned} &(m + 2)(n + 1) \\ &= mn + 15 \\ &\implies m + 2n = 13 \end{aligned}\text{。}

再加入

1

后，

\begin{aligned} &(m + 1)(n + 2) \\ &= mn + 16 \\ &\implies 2m + n = 14 \end{aligned}\text{。}

解方程组

m + 2n = 13

、

2m + n = 14

，得

m = 5

、

n = 4

，所以原列表有四个整数。

所以正确答案是 A。

Let the original list have

n

integers with mean

m,

so its sum is

mn.

Appending

15

gives

\begin{aligned} &(m + 2)(n + 1) \\ &= mn + 15 \\ &\implies m + 2n = 13. \end{aligned}

Appending

1

to that enlarged list gives

\begin{aligned} &(m + 1)(n + 2) \\ &= mn + 16 \\ &\implies 2m + n = 14. \end{aligned}

Solving

m + 2n = 13

and

2m + n = 14

yields

m = 5

and

n = 4.

Thus, the correct answer is A.

2002 AMC 10B 第 25 题

答案：A

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

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