Question

Si

S=i^n+i^{-n},

donde

i=\sqrt{-1}

y

n

es un entero, entonces el número total de valores distintos posibles de

S

es:

If

S=i^n+i^{-n},

where

i=\sqrt{-1}

and

n

is an integer, then the total number of possible distinct values for

S

is:

1

2

3

4

más de

4

more than

4

Respuesta: C

Conceptos:número complejo raíces de la unidad aritmética modular

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Las potencias de

i

se repiten con período cuatro

Powers of

i

repeat with period four

Pista grande:

Revisa un representante de cada clase de residuos de

n

módulo

4

Check one representative of each residue class of

n

modulo

4

Solución:

Si

n

es par,

i^n

es

1

o

-1

e igual a su recíproco, por lo que

S=2

o

-2.

Si

n

es impar, los dos términos son

i

y

-i,

en algún orden, por lo que

S=0.

Así, los valores distintos son

-2,\ 0,\ 2,

tres valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If

n

is even,

i^n

is

1

or

-1

and equals its reciprocal, so

S=2

or

-2.

If

n

is odd, the two terms are

i

and

-i,

in some order, so

S=0.

Thus the distinct values are

-2,\ 0,\ 2,

three values.

Therefore, the correct answer is C.

1957 AMC 12 Problema 42

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 42 en otros años