Question

正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$ 。点 $P$ 和 $Q$ 分别在 $\overline{AD}$ 和 $\overline{CD}$ 上，且 $AP = \tfrac{8}{5}$ 、 $DQ = \tfrac{10}{3}$ 。一条路径从 $P$ 到 $Q$ 的线段开始，之后在正方形 $ABCD$ 的边上反射继续前进（入射角等于反射角），如下图所示。如果路径碰到正方形的顶点，就在那里终止；否则它将永远继续。

这条路径会在哪个顶点终止？

Square $ABCD$ has sides of length $4.$ Points $P$ and $Q$ lie on $\overline{AD}$ and $\overline{CD},$ respectively, with $AP = \tfrac{8}{5}$ and $DQ = \tfrac{10}{3}.$ A path begins along the line segment from $P$ to $Q$ and continues by reflecting against the sides of $ABCD$ (with congruent incoming and outgoing angles), as shown in the figure. If the path hits a vertex of the square, then it terminates there; otherwise it continues forever.

At which vertex does the path terminate?

$A$

$B$

$C$

$D$

路径会永远继续下去。

The path continues forever.

答案：B

知识点：反射（几何）奇偶性最大公约数坐标几何

难度评级：2520

解答：

令 $A = (0,0)$ 、 $B = (4,0)$ 、 $C = (4,4)$ 、 $D = (0,4)$ ，则 $P = \left(0, \tfrac85\right)$ 、 $Q = \left(\tfrac{10}{3}, 4\right)$ 。初始方向为 $\left(\tfrac{10}{3}, \tfrac{12}{5}\right) \parallel (25, 18)$ 。把反射台球路径展开成反射正方形组成的网格，并从 $P$ 沿直线走。它到达某个角点时， $(4a,4b)$ 和 $t = \tfrac{4a}{25}$ 都是 $4$ 的倍数；第一个这样的角点是展开后的点 $10 + 18a = 25b$ 。横向穿过 $5$ 个小正方形（奇数）表示落在 $x = 4$ 的边上，纵向穿过 $a \equiv 5 \pmod{25}$ 个小正方形（偶数）表示落在 $y = 0$ 上。因此对应原正方形的顶点是 $a = 5$ ，正确答案是 B。 $b = 4$ $(20,16)$ 。 $(4,0) = B$ 。

Place $A = (0,0),$ $B = (4,0),$ $C = (4,4),$ $D = (0,4),$ so $P = \left(0, \tfrac85\right)$ and $Q = \left(\tfrac{10}{3}, 4\right).$ The initial direction is $\left(\tfrac{10}{3}, \tfrac{12}{5}\right) \parallel (25, 18).$ Unfold the billiard into a grid of reflected copies and follow the straight line from $P.$ At a grid corner $(4a,4b),$ the horizontal coordinate gives $t = \tfrac{4a}{25}.$ The vertical coordinate then requires $10 + 18a = 25b,$ so $a \equiv 5 \pmod{25}.$ The first positive possibility is $a = 5,$ giving $b = 4$ and the unfolded corner $(20,16).$ Crossing $5$ cells across (odd) puts it on the side $x = 4,$ and $4$ cells up (even) puts it on $y = 0.$ That's vertex $(4,0) = B.$ Thus, B is the correct answer.

2025 AMC 10B 第 25 题

答案：B

难度评级：2520

解答：

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